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第一章 数学美学是一门新兴学科 1

序(一) 【英】大卫·威尔斯 1

第一节 什么是美? 2

一、从词源学中来寻觅美的含义 2

序(二) 【美】孙述寰 3

二、什么是广义的美? 3

三、古希腊人对于美的定义 3

四、我国美学界对于美的定义问题所进行的新探索 3

作者自序 4

第二节 什么是美学? 4

二、“Aesthetios”一词的含意 5

一、“Aesthetik”一词的来源 5

三、中国古代美学的渊源 6

四、近代应用美学的崛起 7

第三节 古希腊数学家已经从数学中认识到美、和谐、简单、明确以及秩序的存在 7

第四节 世界知名数学家论数学理论的美学标准 15

一、英国数学家罗素的美学标准 15

二、美国数学家布克豪夫的美学标准 16

三、英国数学家哈代的美学标准 17

四、美国数学家哈尔莫斯的美学标准 18

五、英国数学家阿蒂亚的美学标准 19

第五节 数学理论美学标准的基本要素 19

第六节 数学理论中真善美的辩证统一 30

第二章 数学在古希腊时代被人们珍视为一门艺术 33

第一节 毕达哥拉斯对于数学理论美学标准的研究 34

一、费尔马大定理的来龙去脉 37

二、费尔马小定理和似质数 40

三、一个不幸的费尔马猜想 41

四、音乐数学的起始 42

第二节 德谟克利特对于数学理论美学标准的研究 43

第三节 柏拉图对于数学理论美学标准的研究 47

第四节 亚里斯多德对于数学理论美学标准的研究 48

第五节 欧几里得对于数学理论美学标准的研究 51

一、黄金数的定义及其美学价值 58

第六节 神赐的比例——黄金分割 58

二、黄金数的推广及其实际应用 61

第三章 中国古代数学的美学特征以及当时著名美学家兼数学家对于数学发展的贡献 67

第一节 中国古代数学基本上属于应用数学体系 68

第二节 中国古代数学的演算程序简捷而巧妙 70

第三节 中国古代数学的推理具有鲜明的逻辑严谨性 73

第四节 易图的数学结构 76

一、对于易图的二进制解释 77

二、对于易图的组合论解释 80

三、对于易图的代数学解释 80

四、对于易图的几何学解释 80

五、对于易图的矩阵论解释 81

第五节 数学家亦称“洛书”是一个三阶幻方 82

一、构造幻方的罗伯法 85

二、构造幻方的行列交会法 86

第六节 《易传》的简单美 87

第七节 墨翟的美学观点与墨氏几何学 89

第八节 庄周的美学思想与他在数学上的无限观 90

第四章 文艺复兴以后一些著名数学家兼美学家对于数学理论美学标准的研究 92

第一节 达·芬奇与帕乔里对于数学理论美学标准的研究 93

第二节 笛卡尔对于数学理论美学标准的研究 95

一、笛卡尔创立解析几何理论是为了寻觅两个对象间恰到好处的协调 95

二、笛卡尔认为数学家的任务是努力以美的形式去描绘宇宙的发展规律 98

三、笛卡尔开创了科学研究艺术上的全新时代 100

第三节 莱布尼兹对数学理论美学标准的研究 101

一、莱布尼兹提出了关于数学真理的“清晰明白”的美学标准 102

二、莱布尼兹和牛顿异地同时发现了微积分正是和谐美的体现，并且也反映出这种发现与其各自美学标准的深刻联系 103

三、莱布尼兹认为数学家选择数学符号是为了最大限度地减少人们的思维劳动 106

四、数学符号是别具一格的“世界语” 107

第五章 数学家关于纯粹数学美与应用数学美之争辩 111

第一节 数学家谈纯粹数学之美 113

一、纯粹数学在发展过程中总是和谐相关的 115

1.从初中代数一个定理谈起 115

2.欧拉的新发现 116

3.拉格朗日对费尔马定理的证明 116

4.刘维尔利用费尔马定理获得了新结果 121

二、高等学校数学教育中的“老三高”和“新三高”是纯粹数学的支柱 122

1.“新三高”美在哪里? 123

2.“老三高”美在哪里? 125

3.帕斯卡定理的推广 130

三、纯粹数学这棵大树的枝杈总是向着奇异的方向蔓延 132

1.模糊数学亦然具有极大的精确性 132

2.非标准分析是分析理论的新结构 133

3.突变理论一时间风靡世界 134

四、离散数学的兴起是现代纯粹数学发展的另一特点 135

1.中科院数学所所长王元谈纯粹数学 135

2.四色猜想的计算机证明是否意味着纯粹数学优美时代的结束 136

第二节 数学家谈应用数学之美 137

一、信息论、控制论及其在数学教育中的应用 139

二、图灵与图灵机 140

第三节 著名物理学家谈数学美 140

第六章 数学家的乐园——无限 144

第一节 康托把无限理论发展到令人眩晕的高度 145

第二节 嘲讽和攻击丝毫抹煞不了真理的光辉 155

第三节 无限终于“被关进了数学家的笼子” 156

第四节 潜无限论与实无限论之争辩 157

第七章 数学大厦的裂缝——悖论 159

第一节 悖论乃是不把自相矛盾的真相摆在桌面上 160

一、诉讼师悖论 160

二、上帝全能悖论 160

第二节 悖论的古典定义以及对若干古典悖论的分析 161

三、唐·吉诃德悖论 161

一、芝诺悖论 162

二、撒谎者悖论 163

三、伽利拉宜悖论 163

第三节 悖论的现代定义以及当前学术界流行的一些与此相等价的悖论定义 164

第四节 悖论在数学基础研究中所产生的深远影响 165

一、罗素悖论 165

二、罗素——策墨略悖论 166

三、康托悖论 167

第五节 由悖论而引起的三次数学危机 168

一、希伯索斯悖论与数学发展史上的第一次危机 168

二、贝克莱悖论与数学发展史上的第二次危机 169

三、罗素悖论和数学发展史上的第三次危机 171

第六节 由悖论而导致的三大数学学派的激烈争辩以及他们各派所坚持的美学标准 172

一、逻辑主义学派认为数学美表现为一首逻辑概念的诗篇 172

二、直觉主义学派认为数学美在于构造性程序清楚 174

三、形式主义学派认为数学美在于形式上的简单与相容 175

第七节 数学理论体系至今尚未实现最终的完美与和谐 177

第八节 悖论破释在数学教育以及企业管理和社会生活中的效应 178

一、悖论破释在数学教育中的效应 178

二、悖论破释在企业管理和社会生活中的效应 181

第八章 数学公理的美学标准 183

第一节 数学公理化方法的本质 184

第二节 建立数学理论系统的抽象思维方法 186

第三节 数学公理学的分类 189

一、数以千计的数学家参与试证第五公设最后都以失败而告终 189

二、巴许和皮阿诺的工作与希尔伯特的名著相比只差一步之遥 190

第四节 希尔伯特论数学公理的美学标准 192

一、希尔伯特认为数学公理是关于基本概念的隐定义 192

二、希尔伯特第一次所构造的几何空间是一个多孔空间 194

三、欧氏几何与非欧几何在公理系统上仅仅是一字之差 195

四、苏联数学家Н·В·叶非莫夫所提出的关于公理系统的三个基本问题实际上就是数学公理的美学标准 196

第五节 希尔伯特设计公理系统的妙诀是极力追求数学的简单美 199

一、什么叫做公理系统的独立性? 199

二、数学家追求公理系统的简单美已具有悠久的历史 199

三、我国中学几何的公理系统与希氏系统之比较 200

四、要从整体上来欣赏希氏系统的简单美 202

五、证明几个“不证自明”的命题 203

第六节 布尔巴基学派的结构主义是对数学公理化方法的进一步发展 208

一、布尔巴基学派更加强调数学公理化的美学标准 210

二、布尔巴基学派所面临的新困难正好体现出数学公理化方法的局限性 211

第七节 韦尔系统与索克评论 212

一、韦尔思想与韦尔系统 213

二、法国数学家索克对于中学几何公理的评论 216

第八节 数学公理化方法的应用价值 216

第九章 数学模型的美学标准 218

第一节 建立数学模型时要广泛应用数学抽象法 219

二、哥尼斯堡七桥问题是应用数学抽象法的典范 220

一、理想化抽象可以使数学家获得足够精确的结果 220

三、数学模型在中学解题理论教学中的应用 222

第二节 数学模型的分类 228

一、描述性数学模型的特征及其分类 229

二、确定性数学模型的应用范围较广 229

第三节 描述性数学模型所体现的数学简单美 231

第四节 利用解释性数学模型来阐明数学公理系统的和谐美 233

一、庞卡莱模型 233

二、球面模型 236

第五节 利用解释型数学模型来阐明数学公理系统的简单美 238

一、证明皮阿诺自然数公理系统的独立性 239

二、皮阿诺自然数公理系统的简化形式以及与其相等价的新系统 242

三、证明希尔伯特欧氏几何公理系统的独立性 243

第六节 利用解释性数学模型来证明公理系统的完备性 244

一、现代数学的特征之一是从研究完备的公理系统所确定的对象转向研究其公理系统不完备的对象 245

二、证明韦尔欧氏几何公理系统的完备性 245

三、证明黎氏几何公理系统的完备性 246

第十章 数学教学的审美观 248

第一节 在数学教育的全过程中都要重视审美教育 249

第二节 充分利用与发挥数学教学表达形式的形式美 251

第三节 深入挖掘数学教学内容所固有的美 253

一、对于数学教育内容的表达要侧重于数学思维方法的分析与诱导 254

二、美国控制论专家维纳提出学校教育要灌输新颖美好的东西 255

三、欧几里得提出在几何学中是没有王者所走的康庄大道的 255

四、在数学教育中要重视对称变换在解题中的应用 257

五、在数学教育中要注意对数学题巧施变形 260

六、在数学教育中要注意优化解题步骤 262

七、在数学教育中要注意奇异常数在解题中的妙用 266

第十一章 数学研究的审美观 271

第一节 数学发明即是选择与识别 273

一、选择的主要标准就是对于美的渴望 274

二、选择的标准之一是追求简单性 276

三、选择的另一标准就是寻求差异性 278

第二节 数学研究中的直觉思维与无意识活动 279

一、法国数学家庞卡莱论直觉思维 280

三、数学直觉的审美观 281

二、法国数学家笛卡尔论直觉思维 281

四、法国数学家庞卡莱论无意识活动 284

五、梦境也是一种无意识活动 284

六、如何发掘与利用无意识活动 285

附录 289

Ⅰ 参考文献 289

Ⅱ 注释 291

Ⅲ 美国数学家孙述寰教授为本书作序原文 316

Ⅳ 英国数学家大卫·威尔斯教授为本书作序原文 317

Ⅴ 希腊字母表 320

Ⅵ 质数表 320

Ⅶ 外国数学家人名索引 321