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第五章 空间解析几何 1

第一节 空间直角坐标系 1

第二节 向量代数 4

5.2.1 向量的概念 4

5.2.2 向量的加法与数乘 5

5.2.3 向量的分解与坐标 9

5.2.4 向量的数量积 14

5.2.5 向量的向量积 19

5.2.6 向量的混合积 25

5.2.7 二重向量积 27

第三节 平面与直线 29

5.3.1 平面的方程 29

5.3.2 两平面的关系 32

5.3.3 点到平面的距离 34

5.3.4 直线的方程 35

5.3.5 两直线的关系 38

5.3.6 点到直线的距离 41

5.3.7 直线与平面的关系 42

5.3.8 平面束的方程 44

第四节 常见曲面 45

5.4.1 曲面方程的概念 45

5.4.2 柱面 46

5.4.3 旋转曲面 48

5.4.4 椭球面 50

5.4.5 ?叶双曲面 52

5.4.6 双叶双曲面 53

5.4.7 二次锥面 55

5.4.8 椭圆抛物面 56

5.4.9 双曲抛物面 57

5.5.1 坐标系的平移 58

第五节 空间坐标变换 58

5.5.2 坐标系的旋转 60

5.5.3 柱坐标与球坐标 63

第六章 多变量函数的微分学 67

第一节 多变量函数的极限与连续 67

6.1.1 平面点集的概念 67

6.1.2 多变量函数的概念 69

6.1.3 二元函数的极限 72

6.1.4 二元函数的连续性 77

第二节 多变量函数的微商与微分 81

6.2.1 偏微商的概念 81

6.2.2 高阶偏微商 84

6.2.3 全微分 88

6.2.4 函数值的近似计算 91

6.2.5 误差估计 93

第三节 复合函数的微分法 94

6.3.1 复合函数微商的链式法则 94

6.3.2 复合函数的全微商 98

6.3.3 复合函数的高阶微商 101

6.3.4 欧拉定理 104

6.3.5 全微分形式的不变性 106

第四节 隐函数的微分法 107

6.4.1 多元方程所确定的隐函数及其微商 107

6.4.2 方程组所确定的隐函数组及其微商 113

6.4.3 雅可比行列式的性质 118

第五节 多变量函数的泰勒公式与极值 121

6.5.1 二元函数的泰勒公式 121

6.5.2 正常极值 126

6.5.3 最小二乘法 134

6.5.4 条件极值 136

6.5.5 例 141

第六节 空间曲线与曲面 146

6.6.1 空间曲线的切线与法平面 146

6.6.2 空间曲面的切平面与法线 150

6.6.3 两曲面的交线及其切线 154

6.6.4 空间曲面的参数方程及其切平面 156

第七章 多变量函数的积分学 160

第一节 二重积分 160

7.1.1 二重积分的概念 160

7.1.2 可积函数及积分的性质 163

7.1.3 二重积分的累次积分 165

7.1.4 二重积分的极坐标代换 173

7.1.5 二重积分一般的曲线坐标代换 179

7.2.1 三重积分的概念 186

第二节 三重积分 186

7.2.2 三重积分的累次积分 187

7.2.3 三重积分的柱坐标代换 193

7.2.4 三重积分的球坐标代换 195

7.2.5 三重积分一般的变量代换 198

第三节 重积分的应用 201

7.3.1 曲面的面积 201

7.3.2 物体的重心与转动惯量 206

7.3.3 物体的引力 211

第四节 第一型曲线积分与曲面积分 213

7.4.1 空间曲线的弧长 213

7.4.2 第一型曲线积分 216

7.4.3 第一型曲面积分 220

第一节 数量场的方向微商与梯度 224

8.1.1 场的概念 224

第八章 场论 224

8.1.2 数量场的方向微商 225

8.1.3 梯度 228

第二节 向量场的通量与散度 232

8.2.1 向量场的通量与第二型曲面积分 232

8.2.2 第二型曲面积分的计算 237

8.2.3 散度 242

8.2.4 高斯定理 246

第三节 向量场的环量与旋度 252

8.3.1 力场作功与第二型曲线积分 252

8.3.2 第二型曲线积分的计算 255

8.3.3 环量与旋度的概念 260

8.3.4 格林定理与斯托克斯定理 262

8.3.5 旋度的计算 269

8.4.1 保守场与势函数 272

第四节 保守场与无源场 272

8.4.2 无源场与向量势 281

第五节 哈密顿算符及运算公式 284

8.5.1 算符▽作用在一个场上的运算 285

8.5.2 算符▽作用在两个场乘积上的运算 287

8.5.3 高斯公式与斯托克斯公式的其它形式 289

第六节 外微分形式 291

8.6.1 外微分形式的外积 291

8.6.2 外微分形式的外微分 293

8.6.3 一般的斯托克斯定理 295

第七节 梯度，散度与旋度在正交曲线坐标系下的表达式 296

8.7.1 曲线坐标的概念 296

8.7.2 梯度的表达式 299

8.7.3 散度的表达式 300

8.7.4 旋度的表达式 303