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第1章 函数 1

1.1 实数集 区间 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 实数集 3

1.1.3 区间 邻域 4

习题1.1 6

1.2 函数的概念 6

1.2.1 常量与变量 7

1.2.2 函数的定义 7

1.2.3 函数的表示 分段函数 8

1.2.4 函数的几种特性 11

习题1.2 14

1.3 初等函数 16

1.3.1 反函数 16

1.3.2 基本初等函数 18

1.3.3 复合函数 21

1.3.4 初等函数 22

1.3.5 双曲函数与反双曲函数 23

1.3.6 非初等函数举例 24

习题1.3 25

1.4 数学模型与拓展 26

1.4.1 建立函数关系举例 26

1.4.2 函数概念的形成与发展 29

第1章总习题 30

第2章 导数与极限 32

2.1 导数的概念 32

2.1.1 引例 32

2.1.2 导数概念 35

习题2.1 39

2.2 极限 39

2.2.1 数列极限的定义 40

2.2.2 函数极限的定义 45

2.2.3 极限的性质 53

2.2.4 无穷小与无穷大 55

2.2.5 极限的运算法则 58

2.2.6 无穷小的比较 69

习题2.2 73

2.3 函数的连续性 78

2.3.1 函数连续的概念 78

2.3.2 连续函数的运算性质 81

2.3.3 初等函数的连续性 83

2.3.4 函数的间断点及其分类 85

2.3.5 闭区间上连续函数的性质 87

习题2.3 90

2.4 导数的计算 92

2.4.1 函数可导与连续的关系 92

2.4.2 函数的和、差、积、商的求导法则 95

2.4.3 反函数求导法则 96

2.4.4 复合函数求导法则（链式法则） 98

2.4.5 基本求导公式 100

2.4.6 隐函数的导数及对数求导法 101

2.4.7 由参数方程确定的函数的导数 104

2.4.8 极坐标系下曲线的切线问题 106

习题2.4 107

2.5 高阶导数 110

习题2.5 115

2.6 数学模型与拓展 116

2.6.1 与连续函数相关的例子 116

2.6.2 小课题研讨：机器人设计 117

2.6.3 极限概念的形成 120

第2章总习题 121

第3章 微分学的基本定理 124

3.1 微分 124

3.1.1 线性近似 124

3.1.2 微分 127

3.1.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 129

习题3.1 131

3.2 微分中值定理 133

3.2.1 罗尔中值定理 133

3.2.2 拉格朗日中值定理 135

3.2.3 柯西中值定理 138

习题3.2 140

3.3 洛必达法则 142

3.3.1 0/0型 142

3.3.2 ∞/∞型 144

3.3.3 几点注意 145

3.3.4 0·∞型与∞-∞型 148

3.3.5 1∞型、∞0型及00型 149

3.3.6 洛必达法则在求数列极限中的应用 150

习题3.3 151

3.4 泰勒公式 153

3.4.1 泰勒公式 153

3.4.2 几个常用函数的泰勒公式 158

3.4.3 泰勒公式的应用 161

习题3.4 164

3.5 数学模型与拓展 165

3.5.1 小课题研讨：迭代与动力系统 165

3.5.2 拉格朗日插值 168

第3章总习题 170

第4章 导数的应用 172

4.1 函数的单调性、极值与最值 172

4.1.1 函数的单调性 172

4.1.2 函数的极值 174

4.1.3 最大值与最小值 178

4.1.4 方程根的个数 183

习题4.1 184

4.2 函数的凸性与拐点 188

4.2.1 凸（凹）函数的概念 188

4.2.2 函数凸性的充分条件和必要条件 190

4.2.3 凸函数的性质及其几何意义 191

4.2.4 拐点 194

习题4.2 195

4.3 平面曲线的曲率 197

4.3.1 曲率的概念 197

4.3.2 曲率的计算公式 198

4.3.3 曲率半径、曲率中心和曲率圆 202

习题4.3 204

4.4 渐近线 206

4.4.1 引言 206

4.4.2 曲线渐近线的定义 207

4.4.3 曲线斜渐近线的求法 208

4.4.4 函数在无穷远处的线性近似 208

4.4.5 函数图形的描绘 209

习题4.4 211

4.5 相关变化率 212

习题4.5 214

4.6 方程的近似解 216

习题4.6 218

4.7 数学模型与拓展 219

4.7.1 与微分学应用相关的例 219

4.7.2 小课题研讨：“活人炮弹” 221

4.7.3 导数在经济学中的应用 222

第4章总习题 234

第5章 积分 237

5.1 定积分的概念 237

5.1.1 定积分问题的产生 237

5.1.2 定积分的定义及其几何意义 240

5.1.3 定积分存在的条件 244

习题5.1 245

5.2 定积分的性质 245

习题5.2 251

5.3 微积分基本定理 253

5.3.1 两个问题的提出 253

5.3.2 微积分第一基本定理 255

5.3.3 原函数和不定积分 259

5.3.4 微积分第二基本定理 263

习题5.3 265

5.4 数学模型与拓展 267

5.4.1 微积分发展史简介 267

第5章总习题 268

第6章 积分法 271

6.1 不定积分的基本积分法 271

6.1.1 不定积分的性质 271

6.1.2 不定积分的换元法 274

6.1.3 不定积分的分部积分法 287

6.1.4 几种特殊类型函数的积分 294

习题6.1 299

6.2 定积分的基本积分法 303

6.2.1 定积分的换元法 304

6.2.2 定积分的分部积分法 312

习题6.2 316

6.3 定积分的数值积分法 319

6.3.1 矩形求积方法 320

6.3.2 梯形求积方法 321

6.3.3 抛物线求积方法 324

习题6.3 328

6.4 数学模型与拓展 329

6.4.1 小课题研讨：极坐标曲线的绕圈周期 329

6.4.2 关于积不出函数 332

第6章总习题 333

第7章 定积分的应用与广义积分 336

7.1 定积分的微元法 336

7.2 几何应用 338

7.2.1 平面图形的面积 338

7.2.2 平面曲线的弧长 344

7.2.3 立体体积 347

7.2.4 旋转体的侧面积 354

习题7.2 356

7.3 物理应用 358

7.3.1 变力沿直线所作的功 358

7.3.2 液体对侧面的压力 363

7.3.3 引力 365

习题7.3 366

7.4 广义积分 367

7.4.1 广义积分问题的产生 367

7.4.2 无穷区间上的广义积分 369

7.4.3 无界函数的广义积分 373

7.4.4 г（Gamma）函数 377

习题7.4 378

7.5 数学模型与拓展 380

7.5.1 与积分应用有关的例 380

7.5.2 小课题研讨：铁路路基施工方案 383

7.5.3 函数的平均值 385

7.5.4 定积分在经济中的应用 386

第7章总习题 390

第8章 无穷级数 393

8.1 数项级数 393

8.1.1 无穷级数的基本概念 393

8.1.2 收敛级数的基本性质 396

8.1.3 正项级数的性质及其敛散性判别法 398

8.1.4 任意项级数的绝对收敛和条件收敛 409

8.1.5 交错级数 414

习题8.1 417

8.2 幂级数 420

8.2.1 函数项级数的概念 420

8.2.2 幂级数及其收敛域 421

8.2.3 幂级数的性质 425

习题8.2 429

8.3 函数的幂级数展开及其应用 431

8.3.1 泰勒级数 431

8.3.2 几个初等函数的麦克劳林级数展开式 433

8.3.3 函数展开为幂级数举例 间接展开法 436

8.3.4 函数的幂级数展开式的应用 439

习题8.3 443

8.4 数学模型与拓展 445

8.4.1 级数求和的经典案例——巴塞尔问题 445

第8章总习题 446

习题参考答案 449