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第一章 行列式 1

第一节 n阶行列式的定义 1

一、二元和三元线性方程组的克拉默法则 1

二、排列及其逆序数 2

三、n阶行列式的定义 3

第二节 行列式的性质 7

一、行列式的性质 7

二、行列式的计算 10

第三节 行列式按行（列）展开定理与克拉默法则 14

一、拉普拉斯展开定理 14

二、拉普拉斯展开定理的应用 17

三、克拉默法则 19

第二章 矩阵理论 23

第一节 矩阵及其运算 23

一、矩阵 23

二、矩阵的运算 24

三、方阵 28

四、矩阵的分块 30

第二节 矩阵的初等变换 33

一、矩阵的初等变换 33

二、矩阵的秩 34

三、矩阵的标准形 36

四、初等矩阵 37

第三节 逆矩阵 39

一、逆矩阵的定义及性质 39

二、矩阵可逆的条件 40

三、用初等行变换求逆矩阵 43

四、逆矩阵的简单应用 44

第四节 矩阵理论的应用 46

一、投入产出模型 46

二、矩阵在图论中的应用 49

第三章 向量空间 58

第一节 向量空间 58

一、n维向量的定义及运算 58

二、向量空间 60

三、子空间 61

第二节 向量组的线性相关性 62

一、向量组的线性相关与线性无关的概念 62

二、向量组的线性相关性与矩阵的秩 65

三、向量组的最大无关组与秩 67

第三节 向量空间的基以及向量的坐标 70

一、向量空间的基与维数 70

二、向量在给定基下的坐标 71

三、基变换与坐标变换 73

第四节 欧氏空间 75

一、向量的内积 75

二、向量的长度与夹角 76

三、标准正交基 78

第五节 线性变换 81

一、线性变换的定义 81

二、线性变换的矩阵 83

三、线性变换的特征值与特征向量 86

第四章 线性方程组 89

第一节 解线性方程组的消元法 89

一、线性方程组解的存在性 89

二、消元法 90

第二节 齐次线性方程组解的结构 93

一、齐次线性方程组有非零解的条件 93

二、齐次线性方程组解的结构 94

三、特征值与特征向量的求法 98

第三节 非齐次线性方程组解的结构 101

第五章 二次型 106

第一节 二次型及其标准形 107

一、二次型的矩阵表示 107

二、二次型的变换与矩阵的合同 108

三、二次型的标准形 109

第二节 正交变换法化二次型为标准形 109

一、实对称矩阵的对角化 110

二、正交变换法化二次型为标准形 111

三、正交变换法化二次型为标准形在几何方面的应用 113

第三节 化二次型为标准形的其他方法 114

一、配方法 114

二、初等变换法 118

第四节 二次型的分类 121

一、惯性定理和二次型的规范形 121

二、正定二次型和正定矩阵 122

三、二次型的其他类型 124

第五节 二次曲面在直角坐标系下的分类 125

习题答案 130