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第0章 基础 1

0.1多项式计算 1

0.2二进制数 4

0.2.1十进制到二进制的转换 5

0.2.2二进制到十进制的转换 5

0.3实数的浮点表示 7

0.3.1浮点格式 7

0.3.2机器表示 10

0.3.3浮点数的加法 12

0.4有效数字的损失 15

0.5微积分回顾 18

第1章 解方程 22

1.1对分法 22

1.1.1根隔离法 22

1.1.2算法的精度和速度 26

1.2不动点迭代 28

1.2.1函数的不动点 28

1.2.2不动点迭代的几何原理 31

1.2.3不动点迭代的线性收敛性 32

1.2.4停止准则 37

1.3精度的界限 40

1.3.1前向误差和后向误差 41

1.3.2 Wilkinson多项式 44

1.3.3求根的灵敏度 45

1.4 Newton法 49

1.4.1 Newton法的二次收敛性 50

1.4.2 Newton法的线性收敛性 53

1.5不用导数求根 58

1.5.1割线法及其变形 58

1.5.2 Brent方法 62

第2章 方程组 67

2.1高斯消去法 67

2.1.1基本的高斯消去法 68

2.1.2运算计数 70

2.2 LU分解 75

2.2.1高斯消去法的矩阵形式 75

2.2.2利用LU分解的回代过程 78

2.2.3 LU分解的复杂性 80

2.3误差的来源 83

2.3.1误差放大及条件数 83

2.3.2摆动 89

2.4 PA=LU分解 92

2.4.1部分选主元 92

2.4.2置换矩阵 94

2.4.3 PA=LU分解 96

2.5迭代方法 101

2.5.1 Jacobi方法 101

2.5.2 Gauss-Seidel方法和SOR 104

2.5.3迭代方法的收敛性 107

2.5.4稀疏矩阵计算 108

2.6共轭梯度法 115

2.6.1正定矩阵 115

2.6.2共轭梯度法 116

2.7非线性方程组系统 120

2.7.1多变量Newton方法 120

2.7.2 Broyden方法 124

第3章 插值 128

3.1数据和插值函数 128

3.1.1 Lagrange插值 129

3.1.2 Newton均差 131

3.1.3经过n个点的d次多项式有多少个 135

3.1.4插值编码 136

3.1.5用近似多项式表示函数 138

3.2插值误差 142

3.2.1插值误差公式 142

3.2.2 Newton形式和误差公式的证明 144

3.2.3 Runge现象 146

3.3 Chebyshev插值 149

3.3.1 Chebyshev定理 149

3.3.2 Chebyshev多项式 151

3.3.3区间的改变 153

3.4三次样条 157

3.4.1样条的性质 158

3.4.2端点条件 165

3.5 Bezier曲线 170

第4章 最小二乘 179

4.1最小二乘和正规方程 179

4.1.1不相容方程组 179

4.1.2数据拟合模型 184

4.1.3最小二乘的条件作用 188

4.2模型综述 192

4.2.1周期数据 192

4.2.2数据线性化 195

4.3 QR分解 202

4.3.1 Gram-Schmidt正交化和最小二乘 202

4.3.2 Householder反射 208

4.4非线性最小二乘 214

4.4.1 Gauss-Newton方法 214

4.4.2带非线性系数的模型 217

第5章 数值微分和数值积分 224

5.1数值微分 224

5.1.1有限差分公式 224

5.1.2舍入误差 228

5.1.3外推 230

5.1.4符号微分法和符号积分法 232

5.2数值积分的Newton-cotes公式 235

5.2.1梯形法则 236

5.2.2 Simpson法则 237

5.2.3复合Newton-Cotes公式 240

5.2.4开Newton-Cotes方法 242

5.3 Romberg积分 245

5.4自适应求积 249

5.5 Gauss求积 253

第6章 常微分方程 261

6.1初值问题 261

6.1.1 Euler方法 263

6.1.2解的存在性、唯一性和连续性 268

6.1.3一阶线性方程 271

6.2初值问题解法分析 273

6.2.1局部截断误差和整体截断误差 273

6.2.2显式梯形方法 277

6.2.3 Taylor方法 280

6.3常微分方程组 282

6.3.1高阶方程 284

6.3.2计算机模拟：摆 285

6.3.3计算机模拟：轨道力学 289

6.4 Runge-Kutta方法及其应用 294

6.4.1 Runge-Kutta族 294

6.4.2计算机模拟：Hodgkin-Huxley神经元 297

6.4.3计算机模拟：Lorenz方程 299

6.5变步长方法 305

6.5.1嵌入Runge-Kutta对 305

6.5.2 4/5阶方法 307

6.6隐式方法和刚性方程 312

6.7多步方法 316

6.7.1生成多步方法 316

6.7.2显式多步方法 319

6.7.3隐式多步方法 322

第7章 边值问题 328

7.1打靶法 328

7.1.1边值问题的解 328

7.1.2打靶法的实现 332

7.2有限差分方法 337

7.2.1线性边值问题 337

7.2.2非线性边值问题 340

7.3配置法与有限元法 345

7.3.1配置法 346

7.3.2有限元和Galerkin方法 348

第8章 偏微分方程 355

8.1抛物型偏微分方程 355

8.1.1前向差分方法 356

8.1.2前向差分方法的稳定性分析 360

8.1.3后向差分方法 362

8.1.4 Crank-Nicolson方法 364

8.2双曲型方程 370

8.2.1波动方程 370

8.2.2 CFL条件 373

8.3椭圆型方程 376

8.3.1椭圆型方程的有限差分方法 377

8.3.2椭圆型方程的有限元方法 385

第9章 随机数及其应用 397

9.1随机数 397

9.1.1伪随机数 398

9.1.2指数随机数和正态随机数 403

9.2蒙特卡罗模拟 405

9.2.1蒙特卡罗估计的幂定律 406

9.2.2拟随机数 407

9.3离散布朗运动和连续布朗运动 412

9.3.1随机游动 412

9.3.2连续布朗运动 414

9.4随机微分方程 417

9.4.1将噪声引入微分方程 417

9.4.2随机微分方程的数值方法 420

第10章 三角插值和快速Fourier变换 431

10.1 Fourier变换 431

10.1.1复算术 432

10.1.2离散Fourier变换 434

10.1.3快速Fourier变换 436

10.2三角插值 439

10.2.1 DFT插值定理 439

10.2.2三角函数的有效求值 443

10.3 FFT和信号处理 447

10.3.1正交性和插值 447

10.3.2用三角函数进行最小二乘拟合 449

10.3.3声音、噪声和过滤 453

第11章 压缩 459

11.1离散余弦变换 459

11.1.1一维离散余弦变换 460

11.1.2 DCT和最小二乘逼近 462

11.2二维DCT和图像压缩 465

11.2.1二维DCT 465

11.2.2图像压缩 469

11.2.3量化 471

11.3 Huffman编码 478

11.3.1信息论和编码 479

11.3.2 JPEG格式的Huffman编码 481

11.4改进的DCT和音频压缩 485

11.4.1 MDCT 485

11.4.2位的量化 491

第12章 特征值和奇异值 497

12.1幂迭代方法 497

12.1.1幂迭代 498

12.1.2幂迭代的收敛性 500

12.1.3逆幂迭代 501

12.1.4 Rayleigh商迭代 503

12.2 QR算法 505

12.2.1同时迭代 505

12.2.2实Schur形式和QR算法 509

12.2.3上Hessenberg形式 511

12.3奇异值分解 519

12.3.1一般情况下求SVD 522

12.3.2特殊情形：对称矩阵 523

12.4 SVD的应用 525

12.4.1 SVD的性质 525

12.4.2降维 526

12.4.3压缩 528

12.4.4计算SVD 529

第13章 最优化 533

13.1没有导数的无约束最优化 534

13.1.1黄金分割探索 534

13.1.2连续抛物线插值法 537

13.1.3 Nelder-Mead搜索 540

13.2带导数的无约束最优化 543

13.2.1牛顿法 543

13.2.2最速下降法 545

13.2.3共轭梯度法 546

附录A矩阵代数 551

附录B MATLAB简介 556

参考文献 563