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第一章 引论 1

1.1 计算方法的研究内容 1

1.2 误差基础知识 2

1.2.1 误差来源与分类 2

1.2.2 绝对误差和相对误差 3

1.2.3 有效数字 4

1.2.4 数据误差在运算中的传播 6

1.3 数值计算中应注意的问题 7

1.3.1 算法的数值稳定性 7

1.3.2 避免误差危害的若干原则 8

习题1 10

第二章 线性代数方程组求解方法 12

2.1 向量与矩阵基本知识 12

2.1.1 引言 12

2.1.2 向量和矩阵 13

2.1.3 特殊矩阵 14

2.1.4 向量与矩阵的范数 15

2.2 高斯消去法 19

2.2.1 高斯顺序消去法 19

2.2.2 高斯主元消去法 23

2.3 矩阵的三角分解 25

2.3.1 直接三角分解法 26

2.3.2 平方根法 30

2.3.3 解三对角方程组的追赶法 33

2.4 矩阵的条件数与方程组的性态 35

2.5 解线性代数方程组的迭代法 41

2.6 基本迭代法 43

2.6.1 雅克比迭代法（J-迭代法） 43

2.6.2 高斯-赛德尔迭代法（GS-迭代法） 44

2.6.3 逐次超松弛迭代法（SOR-迭代法） 45

2.7 迭代法的收敛性 47

2.7.1 一般迭代法的基本收敛定理 47

2.7.2 J-迭代法和GS-迭代法收敛判定定理 53

2.7.3 SOR-迭代法收敛性判定定理 54

习题2 56

第三章 非线性方程求根 60

3.1 二分法 60

3.2 迭代法 62

3.2.1 不动点迭代法 62

3.2.2 不动点迭代的一般理论 63

3.3 加速迭代收敛的方法 67

3.3.1 两个迭代值组合的加速方法 67

3.3.2 三个迭代组合的加速方法 69

3.4 牛顿迭代法 70

3.5 弦割法与抛物线法 74

3.5.1 弦割法 74

3.5.2 抛物线法 78

3.6 非线性方程组零点的迭代方法 80

3.6.1 实值向量函数的基本概念与性质 81

3.6.2 压缩映射原理与不动点迭代法 83

3.6.3 牛顿迭代法 86

习题3 90

第四章 函数插值 92

4.1 多项式插值问题 92

4.1.1 代数插值问题 92

4.1.2 代数插值多项式的存在性与唯一性 93

4.1.3 误差估计 94

4.2 拉格朗日插值法 95

4.2.1 拉格朗日插值基函数 95

4.2.2 拉格朗日插值多项式 96

4.2.3 拉格朗日插值法截断误差及其实用估计 98

4.2.4 拉格朗日反插值方法 100

4.3 牛顿插值法 101

4.3.1 差商的概念与性质 101

4.3.2 牛顿插值公式 102

4.4 等距节点插值公式 104

4.4.1 差分的定义及运算 104

4.4.2 差分与差商的关系 105

4.4.3 等距节点插值公式 106

4.5 埃尔米（Hermit）插值公式 108

4.5.1 一般情形的埃尔米插值问题 108

4.5.2 特殊情况的埃尔米插值问题 111

4.6 分段低次插值 112

4.7 三次样条插值方法 114

4.7.1 三次样条插值的基本概念 114

4.7.2 三弯矩插值法 116

4.7.3 样条插值函数的误差估计 119

习题4 119

第五章 函数逼近 122

5.1 内积与正交多项式 122

5.1.1 权函数 122

5.1.2 内积定义及性质 123

5.1.3 正交性 123

5.1.4 正交多项式系的性质 125

5.2 常见正交多项式 126

5.2.1 勒让德（Legendre）多项式系 126

5.2.2 第一类切比雪夫多项式系 127

5.2.3 第二类切比雪夫多项式系 128

5.2.4 拉盖尔（Laguerre）多项式系 129

5.2.5 埃尔米（Hermite）多项式系 130

5.3 最佳一致逼近 131

5.3.1 最佳一致逼近概念 131

5.3.2 最佳逼近多项式的存在性及唯一性 131

5.3.3 最佳逼近多项式的构造 133

5.4 最佳平方逼近 137

5.4.1 最佳平方逼近的概念 137

5.4.2 最佳平方逼近函数s*（x）的求法 137

5.4.3 正交多项式作基函数的最佳平方逼近 140

5.5 曲线拟合与最小二乘法 142

5.5.1 最小二乘曲线拟合问题的求解及误差分析 142

5.5.2 多项式拟合的求解过程 143

5.5.3 正交函数系的最小二乘曲线拟合 145

5.5.4 用最小二乘法求解超定方程组 147

习题5 149

第六章 矩阵特征值与特征向量的数值算法 151

6.1 预备知识 151

6.2 乘幂法 152

6.2.1 主特征值与主特征向量的计算 152

6.2.2 加速收敛技术 157

6.3 反幂法 159

6.4 雅可比方法 161

习题6 165

第七章 数值积分及数值微分 167

7.1 数值积分的基本概念 167

7.1.1 数值求积的基本思想 167

7.1.2 插值型求积公式 168

7.1.3 代数精度 169

7.1.4 收敛性与稳定性 173

7.2 牛顿—柯特斯求积公式 173

7.2.1 牛顿—柯特斯公式 173

7.2.2 几个低阶求积公式 175

7.3 复化求积方法 177

7.3.1 复化求积公式 177

7.3.2 变步长求积公式 179

7.4 龙贝格求积公式 181

7.4.1 龙贝格（Romberg）求积公式的推导 181

7.4.2 龙贝格求积算法的计算步骤 182

7.5 高斯型求积公式 183

7.5.1 高斯型求积公式的理论 184

7.5.2 几个常用高斯求积公式 185

7.6 二重积分的求积公式 191

7.7 数值微分 195

7.7.1 计算数值微分的插值法 195

7.7.2 计算数值微分的泰勒展开法 197

7.7.3 计算数值微分的待定系数法 197

习题7 198

第八章 常微分方程初值问题的数值解法 199

8.1 引言 199

8.2 欧拉方法及其改进 200

8.2.1 欧拉公式 200

8.2.2 单步法的局部截断误差和阶 202

8.3 龙格—库塔方法 205

8.3.1 龙格—库塔方法的基本思想 205

8.3.2 龙格—库塔方法的推导 205

8.4 线性多步法 208

8.4.1 线性多步法的基本思想 208

8.4.2 线性多步法的构造 210

8.5 算法的稳定性及收敛性 215

8.5.1 算法的稳定性 215

8.5.2 算法的收敛性 217

8.6 一阶常微分方程组与高阶方程 218

8.6.1 一阶常微分方程组 218

8.6.2 高阶微分方程 220

8.7 解微分方程的波形松弛方法 222

8.7.1 微分方程初值问题的波形松弛方法 222

8.7.2 微分方程初值问题波形松弛方法的收敛问题 226

8.7.3 微分方程边值问题的波形松弛方法 227

8.8 微分方程边值问题的数值方法 231

8.8.1 打靶方法 231

8.8.2 有限差分方法 234

习题8 236

第九章 自治微分方程稳定区域的计算 238

9.1 自治微分方程的概念 238

9.2 稳定边界上的平衡点 240

9.3 稳定域边界的特征 244

9.4 确定稳定域的一个算法 247

9.5 几个系统稳定域的计算 248

习题参考答案 252

参考文献 261