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第1章 函数与极限 1

1.1　函数 1

1.1.1　数集与邻域 1

1.1.2　函数的概念 2

1.1.3　函数的表示法 4

1.1.4　函数的特性 5

1.1.5　初等函数 7

1.1.6　双曲函数与反双曲函数 8

习题1.1 10

1.2　数列的极限 12

1.2.1　数列的概念 12

1.2.2　极限思想概述 13

1.2.3　数列极限的定义 14

1.2.4　数列极限的性质 16

习题1.2 17

1.3 函数的极限 18

1.3.1 函数极限的定义 18

1.3.2　函数极限的性质 21

习题1.3 23

1.4　无穷小与无穷大 23

1.4.1　无穷小与无穷大的定义 24

1.4.2　无穷小与无穷大的关系 25

1.4.3　无穷小与函数极限的关系 26

1.4.4　无穷小的性质 26

习题1.4 27

1.5　极限运算法则 28

1.5.1　极限的四则运算法则 28

1.5.2　复合函数的极限运算法则 32

习题1.5 33

1.6　极限存在准则　两个重要极限 35

1.6.1　极限存在准则 35

1.6.2　两个重要极限 37

习题1.6 40

1.7　无穷小的比较 41

习题1.7 44

1.8　函数的连续性和间断点 44

1.8.1　函数连续的概念 44

1.8.2　连续函数的运算性质 46

1.8.3　初等函数的连续性 47

1.8.4　函数的间断点及其分类 48

习题1.8 50

1.9 闭区间上连续函数的性质 51

习题1.9 53

总习题1 53

第2章　导数与微分 57

2.1　导数的概念 57

2.1.1 引例 57

2.1.2　导数的定义 58

2.1.3　按定义求导数举例 60

2.1.4　导数的几何意义 61

2.1.5　可导与连续的关系 62

习题2.1 63

2.2　基本导数公式与函数的求导法则 64

2.2.1　函数的和、差、积、商的求导法则 64

2.2.2　反函数的求导法则 66

2.2.3　基本导数公式 67

2.2.4　复合函数的求导法则 68

2.2.5　分段函数的求导法 70

习题2.2 71

2.3 高阶导数 73

2.3.1　高阶导数的概念 73

2.3.2　高阶导数的求法 74

习题2.3 76

2.4　隐函数及由参数方程所确定的函数的导数　相关变化率 76

2.4.1　隐函数的求导方法 76

2.4.2　幂指函数及“乘积型”复杂函数的求导方法 78

2.4.3 由参数方程所确定的函数的求导法则 79

2.4.4　相关变化率 80

习题2.4 81

2.5　函数的微分 82

2.5.1　微分的定义 82

2.5.2　可导与可微的关系 83

2.5.3　微分的几何意义 84

2.5.4　基本微分公式与微分的运算法则 85

2.5.5　微分在近似计算中的应用 86

习题2.5 88

总习题2 90

第3章　微分中值定理及导数的应用 93

3.1　微分中值定理 93

3.1.1 罗尔定理 93

3.1.2　拉格朗日中值定理 95

3.1.3　柯西中值定理 97

习题3.1 99

3.2　罗必达法则 100

3.2.1　0/0型及∞/∞型未定式 100

3.2.2　其他类型未定式 104

习题3.2 105

3.3　泰勒公式与马克劳林公式 106

3.3.1　泰勒公式 106

3.3.2　几个函数的马克劳林公式 109

习题3.3 111

3.4　函数的单调性和极值 111

3.4.1　函数的单调性判定 111

3.4.2　函数的极值及其求法 114

3.4.3　最大值、最小值 118

习题3.4 120

3.5 曲线的凹凸性与拐点 122

习题3.5 125

3.6　函数图形的描绘 125

3.6.1　曲线的渐近线 126

3.6.2　函数图形的描绘 126

习题3.6 129

3.7　曲率 129

3.7.1　弧微分 129

3.7.2　曲率的定义及计算 130

3.7.3 曲率圆与曲率中心 133

3.7.4　曲率中心的计算　渐屈线与渐伸线 134

习题3.7 135

3.8　方程的近似解 136

3.8.1　二分法 137

3.8.2　牛顿切线法 138

习题3.8 140

总习题3 141

第4章　不定积分 143

4.1　不定积分的概念与性质 143

4.1.1　原函数与不定积分的概念 143

4.1.2　不定积分的性质 146

4.1.3　基本积分公式 146

习题4.1 149

4.2　换元积分法 150

4.2.1　第一类换元法 150

4.2.2　第二类换元法 157

习题4.2 163

4.3　分部积分法 165

习题4.3 168

4.4　有理函数与三角有理式的积分 169

4.4.1　有理函数的积分 169

4.4.2　三角有理式的积分 174

习题4.4 175

总习题4 176

第5章　定积分 179

5.1　定积分的概念与性质 179

5.1.1　定积分问题举例 179

5.1.2　定积分的定义 181

5.1.3　定积分的几何意义 183

5.1.4　定积分的近似计算 185

5.1.5　定积分的性质 187

习题5.1 191

5.2　微积分基本公式 193

5.2.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 193

5.2.2　积分上限的函数及其导数 194

5.2.3　牛顿-莱布尼茨公式 195

习题5.2 200

5.3　定积分的换元法和分部积分法 202

5.3.1　定积分的换元法 202

5.3.2　定积分的分部积分法 209

习题5.3 210

5.4　反常积分 213

5.4.1　无穷限的反常积分 213

5.4.2　无界函数的反常积分 216

5.4.3　Γ函数 219

习题5.4 221

总习题5 222

第6章　定积分的应用 227

6.1　定积分的微元法 227

6.2　定积分在几何学上的应用 229

6.2.1　平面图形的面积 229

6.2.2　体积 233

6.2.3　平面曲线的弧长 239

习题6.2 242

6.3　定积分在物理学上的应用 243

6.3.1　变力沿直线所做的功 243

6.3.2　液体的压力 246

6.3.3 引力 248

习题6.3 249

总习题6 250

第7章　微分方程 253

7.1　微分方程的基本概念 253

7.1.1　两个实例 253

7.1.2　微分方程的基本概念 254

习题7.1 256

7.2　一阶微分方程 257

7.2.1 可分离变量的微分方程及齐次方程 257

7.2.2　一阶线性微分方程及伯努利方程 262

习题7.2 268

7.3　可降阶的高阶微分方程 270

7.3.1 y（n）=f（x）型的微分方程 270

7.3.2 y″=f（x,y′）型的微分方程 270

7.3.3　y″=f（y,y′）型的微分方程 272

习题7.3 274

7.4　高阶线性微分方程 274

7.4.1 高阶线性微分方程及其解的结构 274

7.4.2 二阶常系数线性齐次微分方程 277

7.4.3　二阶常系数线性非齐次微分方程 281

习题7.4 287

7.5　欧拉方程 288

习题7.5 290

7.6　常系数线性微分方程组的解法 290

习题7.6 292

7.7　微分方程的应用 292

习题7.7 296

总习题7 297

附录 300

附录A　几种常见的曲线 300

附录B　积分表 303

部分习题答案与提示 312

参考文献 343