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预备知识 1

一、集合 1

二、映射 4

三、一元函数 6

习题 17

第一章 极限与连续 19

第一节 微积分中的极限方法 20

第二节 数列的极限 24

一、数列极限的定义 24

二、数列极限的性质 29

习题1-2 31

第三节 函数的极限 31

一、函数极限的定义 32

二、函数极限的性质 38

习题1-3 40

第四节 极限的运算法则 41

一、无穷小与无穷大 41

二、极限的运算法则 45

习题1-4 49

第五节 极限存在准则与两个重要极限 49

一、夹逼准则 50

二、单调有界收敛准则 53

习题1-5 57

第六节 无穷小的比较 57

一、无穷小的比较 58

二、等价无穷小 60

习题1-6 63

第七节 函数的连续性与连续函数的运算 63

一、函数的连续性 63

二、函数的间断点 66

三、连续函数的运算 68

习题1-7 70

第八节 闭区间上连续函数的性质 71

一、最大值最小值定理 71

二、零点定理与介值定理 72

习题1-8 75

总习题一 76

第二章 一元函数微分学 79

第一节 导数的概念 80

一、导数概念的引出 80

二、导数的定义 81

三、函数的可导性与连续性的关系 85

习题2-1 86

第二节 求导法则 87

一、函数的线性组合、积、商的求导法则 87

二、反函数的导数 91

三、复合函数的导数 93

习题2-2 96

第三节 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数 98

一、隐函数的导数 98

二、由参数方程确定的函数的导数 102

三、相关变化率 104

习题2-3 106

第四节 高阶导数 107

习题2-4 111

第五节 函数的微分与函数的线性逼近 112

一、微分的定义 112

二、微分公式与运算法则 114

三、微分的意义与应用 116

习题2-5 120

第六节 微分中值定理 120

习题2-6 126

第七节 泰勒公式 127

习题2-7 133

第八节 洛必达法则 134

一、0/0未定式 134

二、∞/∞未定式 136

三、其他类型的未定式 137

习题2-8 139

第九节 函数单调性与曲线凹凸性的判别法 140

一、函数单调性的判别法 140

二、曲线的凹凸性及其判别法 143

习题2-9 149

第十节 函数的极值与最大、最小值 150

一、函数的极值及其求法 150

二、最大值与最小值问题 153

习题2-10 157

第十一节 曲线的曲率 159

一、平面曲线的曲率概念 159

二、曲率公式 160

习题2-11 164

第十二节 一元函数微分学在经济中的应用 164

总习题二 167

第三章 一元函数积分学 171

第一节 不定积分的概念及其性质 172

一、原函数和不定积分的概念 172

二、基本积分表 174

三、不定积分的性质 175

习题3-1 177

第二节 不定积分的换元积分法 177

一、不定积分的第一类换元法 177

二、不定积分的第二类换元法 182

习题3-2 185

第三节 不定积分的分部积分法 186

习题3-3 189

第四节 有理函数的不定积分 190

习题3-4 195

第五节 定积分 195

一、定积分问题举例 195

二、定积分的定义 198

三、定积分的性质 201

习题3-5 205

第六节 微积分基本定理 205

一、积分上限的函数及其导数 206

二、牛顿-莱布尼茨公式 207

习题3-6 212

第七节 定积分的换元法与分部积分法 213

一、定积分的换元法 213

二、定积分的分部积分法 218

习题3-7 220

第八节 定积分的几何应用举例 221

一、平面图形的面积 222

二、体积 227

三、平面曲线的弧长 230

习题3-8 236

第九节 定积分的物理应用举例 237

一、作功 237

二、水压力 239

三、引力 240

习题3-9 241

第十节 平均值 241

一、函数的算术平均值 242

二、函数的加权平均值 243

三、函数的均方根平均值 244

习题3-10 245

第十一节 反常积分 246

一、无穷限的反常积分 246

二、无界函数的反常积分 249

三、г函数 252

习题3-11 254

总习题三 255

第四章 微分方程 259

第一节 微分方程的基本概念 260

习题4-1 263

第二节 可分离变量的微分方程 263

习题4-2 270

第三节 一阶线性微分方程 271

习题4-3 275

第四节 可用变量代换法求解的一阶微分方程 275

一、齐次型方程 275

二、可化为齐次型的方程 278

三、伯努利方程 280

习题4-4 281

第五节 可降阶的二阶微分方程 282

一、y″=f（x）型的微分方程 282

二、y″=f（x,y′）型的微分方程 282

三、y″=f（y,y′）型的微分方程 283

四、可降阶二阶微分方程的应用举例 284

习题4-5 288

第六节 线性微分方程解的结构 289

习题4-6 292

第七节 二阶常系数线性微分方程 293

一、二阶常系数齐次线性微分方程 293

二、二阶常系数非齐次线性微分方程 297

三、二阶常系数线性微分方程的应用举例 301

习题4-7 307

第八节 高阶变系数线性微分方程解法举例 308

一、解二阶变系数线性微分方程的常数变易法 308

二、解欧拉方程的指数代换法 309

习题4-8 310

总习题四 311

实验 314

实验1 数列极限与生长模型 314

实验2 泰勒公式与函数逼近 318

实验3 方程近似解的求法 321

实验4 定积分的近似计算 326

附录 331

附录一 数学软件Mathematica简介 331

附录二 几种常用的曲线 340

习题答案与提示 343

记号说明 364