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第1篇 线性代数（矩阵分析） 3

第1章 矩阵和向量 3

1.1 矩阵和向量的定义 3

1.2 矩阵的基本运算 5

1.2.1 矩阵的加法和数乘 5

1.2.2 矩阵乘法 6

1.2.3 矩阵转置 8

1.3 初等变换和初等矩阵 9

1.3.1 高斯消元法 9

1.3.2 初等矩阵 11

1.3.3 矩阵求逆 14

1.4 方阵的行列式 15

1.4.1 二阶和三阶行列式 15

1.4.2 行列式的定义 16

1.4.3 行列式的计算 17

1.4.4 克拉默法则 21

1.5 矩阵分块运算 22

附录1 Mathematica中矩阵的定义和运算 24

习题 26

第2章 线性空间 28

2.1 向量的相关性 28

2.1.1 线性组合和线性表示 28

2.1.2 线性相关与线性无关 29

2.2 秩 32

2.2.1 向量组的秩 32

2.2.2 矩阵的秩 33

2.2.3 相抵标准形 35

2.3 线性空间 35

2.3.1 线性空间的定义 35

2.3.2 线性子空间 36

2.4 维、基、坐标 37

2.4.1 维、基、坐标的定义 37

2.4.2 基变换与坐标变换 37

2.5 线性方程组的解 40

附录2用Mathematica求解线性方程组 44

习题 45

第3章 线性变换 47

3.1 线性变换及其运算 47

3.1.1 线性变换的定义和性质 47

3.1.2 线性变换的运算 49

3.2 线性变换的矩阵 50

3.2.1 线性变换的矩阵 50

3.2.2 线性变换与矩阵的关系 55

3.3 矩阵的相似 56

3.4 特征值与特征向量 57

3.4.1 特征值与特征向量的定义 57

3.4.2 特征值与特征向量的计算 58

3.4.3 特征多项式的性质 60

3.5 矩阵的相似对角化 61

3.5.1 矩阵可对角化的条件 61

3.5.2 若尔当标准形简介 64

附录3用Mathematica计算矩阵的特征值和特征向量 65

习题 66

第4章 欧氏空间和二次型 68

4.1 内积和欧氏空间 68

4.1.1 内积的定义 68

4.1.2 欧氏空间的性质 70

4.1.3 正交投影 71

4.1.4 施密特正交化 72

4.2 正交变换和对称变换 75

4.2.1 正交变换 75

4.2.2 正交矩阵 76

4.2.3 对称变换 76

4.2.4 对称矩阵 77

4.3 二次型的矩阵表示 79

4.4 二次型的标准形 81

4.4.1 正交相合方法 81

4.4.2 配方法 82

4.4.3 初等变换法 83

4.5 相合不变量 85

4.6 正定二次型 88

附录4用Mathematica做正交投影和标准正交化 91

习题 91

第5章 矩阵和向量范数 93

5.1 向量范数 93

5.1.1 向量范数的定义 93

5.1.2 不同向量范数的关系 94

5.1.3 向量的极限 95

5.2 矩阵范数 95

5.2.1 矩阵范数的定义 95

5.2.2 常用矩阵范数 96

5.2.3 谱半径与收敛矩阵 98

5.3 矩阵的条件数 99

附录5用Mathematica计算矩阵和向量范数 101

第2篇 数值计算 105

绪言 105

第6章 线性方程组数值解 108

6.1 高斯列主元消元 108

6.1.1 高斯消元法 108

6.1.2 列主元消元法 111

6.2 直接分解法 114

6.2.1 LU分解 115

6.2.2 对称正定矩阵的LDLT分解 120

6.3 解线性方程组的迭代法 122

6.3.1 雅可比迭代 123

6.3.2 Gauss-Seidel迭代 126

6.3.3 松弛迭代 129

附录6用Mathematica求解方程组和矩阵分解 131

习题 132

第7章 插值与拟合 134

7.1 拉格朗日插值多项式 134

7.1.1 拉格朗日插值多项式的存在性和唯一性 136

7.1.2 拉格朗日插值和插值基函数 137

7.1.3 n次插值多项式的误差 138

7.2 牛顿插值多项式 140

7.2.1 差商及其计算 140

7.2.2 牛顿插值的形式 142

7.3 厄米插值 144

7.4 三次样条函数 148

7.4.1 龙格现象 148

7.4.2 三次样条函数简介 149

7.5 拟合曲线 151

7.5.1 线性拟合和二次拟合函数 152

7.5.2 解矛盾方程组 154

附录7 Mathematica的插值和拟合函数 159

习题 160

第8章 数值积分和数值微分 162

8.1 数值微分 162

8.1.1 差商与数值微分 162

8.1.2 插值型数值微分 164

8.2 牛顿-科茨积分 165

8.2.1 插值型数值积分 166

8.2.2 牛顿-科茨积分 167

8.3 复化数值积分 171

8.3.1 复化梯形积分 171

8.3.2 复化辛普森积分 173

8.3.3 复化积分的自动控制误差方法 174

8.3.4 龙贝格积分 176

8.4 重积分计算简介 178

8.5 高斯型积分简介 180

8.5.1 高斯积分 180

8.5.2 高斯-勒让德积分 181

附录8 Mathematica的数值积分 184

习题 185

第9章 常微分方程数值解 186

9.1 欧拉公式 187

9.1.1 基于数值微商的欧拉公式 187

9.1.2 欧拉公式的收敛性 190

9.2 龙格-库塔方法 191

9.2.1 二阶龙格-库塔方法 191

9.2.2 四阶龙格-库塔格式 194

9.2.3 常微分方程组 195

9.3 线性多步法 197

9.4 常微分方程的稳定性 199

附录9用Mathematica求解常微分方程 202

习题 203

第10章 迭代法 205

10.1 非线性方程求根 205

10.1.1 二分法 205

10.1.2 迭代法 206

10.2 牛顿迭代法和弦截法 209

10.2.1 牛顿迭代格式 209

10.2.2 牛顿法的几何意义 210

10.2.3 弦截法迭代格式 211

10.2.4 弦截法的几何意义 212

10.3 求解非线性方程组的牛顿方法 213

10.4 计算矩阵特征值的幂法和反幂法 215

10.4.1 幂法 215

10.4.2 幂法的规范运算 218

10.4.3 反幂法 221

10.5 QR方法简介 222

10.5.1 Householder矩阵 222

10.5.2 QR分解 222

附录10 Mathematica的非线性方程求根和特征值计算 223

习题 224

第3篇 概率论与数理统计 227

第11章 统计数据的表示与处理 227

11.1 平均指标与变动度指标 227

11.1.1 平均指标及其计算 228

11.1.2 数据变动（变异）度指标 230

11.2 统计指数的计算与认识 232

11.3 数据的分组与分组数据的图示法 235

11.4 数据的线性普涨和普降方法 239

11.5 定量数据转化为定性数据的方法 240

习题 241

第12章 随机变量概率分布及其应用 243

12.1 两点分布、二项分布及其应用 243

12.1.1 两点分布 243

12.1.2 二项分布 244

12.1.3 应用举例 245

12.2 泊松分布及其应用 247

12.3 正态分布及其应用 249

12.3.1 正态分布的概率密度函数f（χ）与分布函数F（χ） 250

12.3.2 标准正态分布的概率计算与分位点 251

12.3.3 正态分布的标准化及应用举例 252

12.4 指数分布 254

习题 256

第13章 抽样分布与中心极限定理 258

13.1 总体与随机样本 258

13.2 数理统计中的四大分布 258

13.2.1 χ2（卡方）分布 259

13.2.2 t分布 260

13.2.3 F分布 262

13.3 抽样分布中的常用公式 263

13.4 大数定律与中心极限定理 268

13.4.1 大数定律 268

13.4.2 中心极限定理的表现形式 271

13.5 中心极限定理的应用 274

习题 277

第14章 参数估计 279

14.1 参数的点估计与应用 279

14.2 估计量的评价标准 284

14.3 参数的区间估计与应用 287

14.4 单侧置信区间估计 295

习题 297

第15章 假设检验及其应用 299

15.1 假设检验的基本原理与步骤 299

15.2 正态总体均值的假设检验 300

15.2.1 单个正态总体均值的假设检验 300

15.2.2 两个正态总体均值差的假设检验 304

15.3 单边（侧）假设检验问题 306

15.4 正态总体方差的假设检验 308

15.4.1 单个正态总体方差的χ2检验 308

15.4.2 双正态总体方差齐性的F检验 309

15.5 假设检验中值得注意的几个问题 311

15.5.1 单边假设检验中原假设与备择假设的确定原则问题 311

15.5.2 两类错误问题 312

习题 314

第16章 回归分析及其应用 316

16.1 回归分析的基本概念与思想 316

16.2 一元线性回归及其应用 316

16.3 可线性化的一元非线性回归 323

16.4 多元线性回归及其应用 327

附录11 Mathematica中概论统计命令 331

习题 337

参考文献 339