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上册 1

第1章　函数与极限 1

1-1　初等函数 1

一、邻域的概念 1

二、初等函数 1

三、建立函数关系举例 4

四、双曲函数 5

习题1-1 6

1-2　函数的极限 7

一、当x→∞时，函数f（x）的极限 7

二、当x→x0时，函数f（x）的极限 9

三、当x→x0时，函数f（x）的左、右极限 10

四、函数极限的性质 11

习题1-2 12

1-3　极限运算法则 12

习题1-3 13

1-4　无穷小与无穷大 14

一、无穷小量 14

二、无穷大量 15

习题1-4 17

1-5　两个重要极限 17

习题1-5 21

1-6　无穷小的比较 21

习题1-6 23

1-7　初等函数的连续性 24

一、函数的增量 24

二、函数连续性的概念 25

三、函数的间断点 26

四、初等函数的连续性 28

五、闭区间上连续函数的性质 29

习题1-7 30

第2章　导数与微分 32

2-1　导数的概念 32

一、变化率问题举例 32

二、导数的定义 33

三、求导数举例 34

四、导数的几何意义 36

五、可导与连续的关系 37

习题2-1 38

2-2　求导法则 39

一、导数的四则运算法则 39

二、反函数的导数 41

三、复合函数的导数 43

习题2-2 44

2-3　初等函数的求导问题 44

一、常数和基本初等函数的导数公式 45

二、函数和、差、积、商的求导法则 45

三、复合函数求导法则 45

四、双曲函数的导数 45

习题2-3 47

2-4　高阶导数 47

一、高阶导数 47

二、n阶导数公式 48

习题2-4 50

2-5　隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 50

一、隐函数的导数 50

二、由参数方程所确定的函数的导数 51

习题2-5 52

2-6　函数的微分 53

一、微分的定义 53

二、微分的几何意义 55

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 56

习题2-6 57

2-7　微分在近似计算上的应用 58

习题2-7 59

第3章　微分中值定理与导数的应用 60

3-1　微分中值定理 60

一、罗尔定理 60

二、拉格朗日中值定理 62

三、柯西中值定理 65

习题3-1 65

3-2　罗必塔法则 66

一、0/0型未定式 66

二、∞／∞型未定式 68

三、其他未定式 69

习题3-2 71

3-3　函数单调性的判定方法 72

习题3-3 75

3-4　函数的极值及其求法 76

一、函数极值的定义 76

二、函数极值的求法 77

习题3-4 80

3-5　函数的最大值和最小值的求法 81

习题3-5 84

3-6　曲率 85

一、弧的微分 85

二、曲率及其计算公式 87

三、曲率圆与曲率半径 90

习题3-6 92

第4章　不定积分 93

4-1　不定积分的概念和性质 93

一、原函数与不定积分的概念 93

二、不定积分的性质 95

三、基本积分公式 96

习题4-1 98

4-2　换元积分法 98

一、第一类换元积分法 99

二、第二类换元积分法 103

习题4-2 107

4-3　分部积分法 109

习题4-3 111

4-4　简单有理函数的积分 112

一、简单有理函数的积分 112

二、三角函数有理式的积分 114

三、积分表的使用 116

习题4-4 118

第5章　定积分及其应用 119

5-1　定积分的定义及其性质 119

一、引例 119

二、定积分的定义 122

三、定积分的几何意义 123

四、定积分的基本性质 125

习题5-1 128

5-2　定积分的计算 129

一、积分上限的函数及其导数 129

二、牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式 130

习题5-2 131

5-3　定积分的换元积分法和分部积分法 132

一、定积分的换元积分法 132

二、定积分的分部积分法 136

习题5-3 137

5-4　广义积分 138

一、无穷区间上的广义积分 138

二、被积函数有无穷间断点的广义积分 140

习题5-4 141

5-5　定积分的几何应用 142

一、定积分的元素法 142

二、平面图形的面积 143

三、体积 146

四、平面曲线的弧长 148

习题5-5 150

5-6　定积分在物理学上的应用 151

一、变力沿直线所作的功 152

二、静水的压力 153

三、电学上的应用 154

习题5-6 155

第6章　常微分方程 157

6-1　微分方程的基本概念 157

一、引例 157

二、微分方程及其解 158

习题6-1 160

6-2　可分离变量的微分方程 160

习题6-2 163

6-3　齐次微分方程 163

习题6-3 166

6-4　一阶线性微分方程 167

一、一阶线性微分方程 167

二、贝努利方程 170

习题6-4 171

6-5　可降阶的高阶微分方程 171

一、y(n)=f（x）型微分方程 172

二、y″＝f（x,y′）型微分方程 172

三、y″＝f（y,y′）型微分方程 173

习题6-5 175

6-6　二阶线性微分方程的解的结构 176

一、二阶线性微分方程的基本概念 176

二、二阶线性齐次微分方程的解的结构 176

三、二阶线性非齐次微分方程的解的结构 177

习题6-6 179

6-7　二阶常系数线性微分方程 179

一、二阶常系数线性齐次方程 179

二、二阶常系数线性非齐次方程 184

习题6-7 188

附录　积分表 190

习题答案 201