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第1章 典型方程的导出、定解问题及二阶方程的分类与化简 1

1.1典型方程的导出 2

1.1.1守恒律 2

1.1.2变分原理 9

1.2偏微分方程的基本概念 13

1.2.1定义 13

1.2.2定解条件和定解问题 14

1.2.3定解问题的适定性 15

1.3二阶线性偏微分方程的分类与化简 16

1.3.1两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与化简 17

1.3.2多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类 20

习题1 22

第2章 Fourier级数方法——特征展开法和分离变量法 24

2.1引言 24

2.2预备知识 26

2.2.1二阶线性常微分方程的通解 26

2.2.2线性方程的叠加原理 28

2.2.3正交函数系 28

2.3特征值问题 29

2.3.1Sturm-Liouville问题 30

2.3.2例子 32

2.4特征展开法 35

2.4.1弦振动方程的初边值问题 35

2.4.2热传导方程的初边值问题 39

2.5分离变量法——Laplace方程的边值问题 41

2.5.1圆域内Laplace方程的边值问题 41

2.5.2矩形上的Laplace方程的边值问题 44

2.6非齐次边界条件的处理 47

2.7物理意义、驻波法与共振 50

习题2 52

第3章 积分变换法 58

3.1Fourier变换的概念和性质 58

3.2Fourier变换的应用 64

3.2.1一维热传导方程的初值问题 64

3.2.2高维热传导方程的初值问题 68

3.2.3一维弦振动方程的初值问题 69

3.2.4其他类型的方程 72

3.3半无界问题：对称延拓法 74

3.3.1热传导方程的半无界问题 74

3.3.2半无界弦的振动问题 76

3.4Laplace变换的概念和性质 78

3.5Laplace变换的应用 81

习题3 84

第4章 波动方程的特征线法、球面平均法和降维法 88

4.1弦振动方程的初值问题的行波法 88

4.2d′Alembert公式的物理意义 91

4.3三维波动方程的初值问题——球面平均法和Poisson公式 93

4.3.1三维波动方程的球对称解 93

4.3.2三维波动方程的Poisson公式 94

4.3.3非齐次方程、推迟势 96

4.4二维波动方程的初值问题——降维法 97

4.5依赖区域、决定区域、影响区域、特征锥 100

4.6Poisson公式的物理意义、Huygens原理 102

习题4 103

第5章 位势方程 106

5.1Green公式与基本解 106

5.1.1Green公式 106

5.1.2基本解的定义 107

5.2调和函数的基本积分公式及一些基本性质 108

5.3Green函数 112

5.3.1Green函数的概念 112

5.3.2Green函数的性质 114

5.4几种特殊区域上的Green函数及Dirichlet边值问题的可解性 117

5.4.1球上的Green函数、Poisson公式 117

5.4.2上半空间的Green函数、Poisson公式 122

5.4.3四分之一平面上的Green函数 124

5.4.4半球域上的Green函数 124

5.5调和函数的进一步性质——Poisson公式的应用 126

习题5 129

第6章 三类典型方程的基本理论 132

6.1双曲型方程 132

6.1.1初值问题的能量不等式、解的适定性 132

6.1.2混合问题的能量模估计与解的适定性 138

6.2椭圆型方程 141

6.2.1极值原理、最大模估计与解的惟一性 142

6.2.2能量模估计与解的惟一性 148

6.3抛物型方程 150

6.3.1极值原理与最大模估计 150

6.3.2第一初边值问题解的最大模估计与惟一性 151

6.3.3第三初边值问题解的最大模估计与惟一性 153

6.3.4初值问题的极值原理、解的最大模估计与惟一性 154

6.3.5初边值问题的能量模估计与解的惟一性 157

习题6 159

附录一 积分变换表 165

附录二 参考答案 167

参考文献 175