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第1章 函数 极限 连续 1

1.1函数 极坐标 1

1.1.1常量与变量 1

1.1.2邻域 2

1.1.3函数 4

1.1.4极坐标 10

1.2初等函数 12

1.2.1复合函数与反函数 12

1.2.2基本初等函数 15

1.2.3初等函数 19

1.2.4函数模型的建立 21

1.3数列的极限 23

1.3.1数列极限的概念 24

1.3.2收敛数列的性质 29

1.4函数的极限 32

1.4.1函数极限的定义 32

1.4.2函数极限的性质 35

1.4.3无穷小与无穷大 36

1.5极限运算法则 40

1.5.1极限四则运算法则 40

1.5.2复合函数极限运算 43

1.6重要极限 无穷小的比较 45

1.6.1极限存在准则 45

1.6.2两个重要极限 47

1.6.3无穷小的比较 51

1.7函数的连续与间断 55

1.7.1连续函数的概念 55

1.7.2函数的间断点 58

1.8连续函数的运算与性质 61

1.8.1连续函数的运算 61

1.8.2连续函数的性质 64

模拟考场一 67

数学家史话 刘徽与祖冲之 68

第2章 导数与微分 71

2.1导数的概念 71

2.1.1引例 71

2.1.2导数的定义 73

2.1.3导数的意义 78

2.1.4函数的可导性与连续性的关系 80

2.2函数的求导法则 83

2.2.1函数和、差、积、商的求导法则 83

2.2.2反函数的求导法则 87

2.2.3复合函数的求导法则 88

2.2.4求导法则与基本导数公式 91

2.3隐函数与参数式函数的导数 93

2.3.1隐函数的导数 93

2.3.2参数式函数的导数 97

2.3.3相关变化率 99

2.4高阶导数 102

2.4.1f（x）的n阶导数 102

2.4.2隐函数的二阶导数 106

2.4.3参数式函数的二阶导数 106

2.5函数的微分 109

2.5.1微分的定义 109

2.5.2微分公式与微分运算法则 112

2.5.3微分形式的不变性 113

2.5.4微分在近似计算中的应用 115

模拟考场二 120

数学家史话 科学巨擘——Newton 121

第3章 微分中值定理与导数的应用 124

3.1 Rolle中值定理与Lagrange中值定理 124

3.1.1 Rolle中值定理 124

3.1.2 Lagrange中值定理 126

3.2 Cauchy中值定理与Taylor中值定理 130

3.2.1 Cauchy中值定理 130

3.2.2 Taylor中值定理 131

3.2.3 Taylor公式的应用 135

3.3未定式 136

3.3.1 0/0型与∞/∞型未定式 136

3.3.2其他形式的未定式 139

3.4曲线的升降与凹凸性 143

3.4.1函数的单调性与曲线的升降 143

3.4.2曲线的凹凸与拐点 147

3.5函数的极值与最值 151

3.5.1函数的极值 151

3.5.2函数极值的判定 152

3.5.3函数的最值 155

3.6函数图形的描绘 159

3.6.1曲线的渐近线 159

3.6.2函数图形的描绘 161

3.7弧微分与曲率 164

3.7.1弧微分 164

3.7.2曲率与曲率半径 165

3.7.3曲率圆与曲率半径 168

模拟考场三 170

数学家史话Lagrange和Cauchy 171

第4章 不定积分 174

4.1不定积分的概念与性质 174

4.1.1原函数与不定积分的概念 174

4.1.2不定积分的性质 176

4.1.3基本积分表 177

4.1.4直接积分法 179

4.2不定积分的换元法 181

4.2.1第一类换元法 182

4.2.2第二类换元法 191

4.3分部积分法 198

4.4有理函数的积分 205

4.4.1有理函数的积分 205

4.4.2可化为有理函数的积分举例 209

4.5不定积分的综合方法 212

模拟考场四 219

数学家史话 符号大师——Leibniz 220

第5章 定积分及其应用 222

5.1定积分的概念与性质 222

5.1.1典型问题举例 222

5.1.2定积分的定义 224

5.1.3定积分的性质 227

5.2微积分基本公式 230

5.2.1变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 230

5.2.2积分上限的函数及其导数 231

5.2.3 Newton-Leibniz公式 232

5.3定积分的换元法和分部积分法 237

5.3.1定积分的换元积分法 238

5.3.2定积分的分部积分法 242

5.4广义积分 246

5.4.1无穷限的广义积分 246

5.4.2无界函数的广义积分 248

5.4.3 Γ函数 251

5.5定积分的近似计算 253

5.5.1矩形法 253

5.5.2梯形法 254

5.5.3抛物线法 254

5.6定积分在几何上的应用 256

5.6.1定积分的元素法 256

5.6.2平面图形的面积 257

5.6.3体积 261

5.6.4平面曲线的弧长 265

5.7定积分在其他方面的应用 268

5.7.1定积分在物理方面的应用 268

5.7.2定积分在化学方面的应用 271

模拟考场五 273

数学家史话 数学之神——Archimedes 274

第6章 微分方程 277

6.1微分方程的基本概念 277

6.1.1引例 277

6.1.2微分方程的有关概念 278

6.2可分离变量的微分方程 281

6.2.1可分离变量的微分方程 282

6.2.2齐次微分方程 283

6.2.3可化为齐次微分方程的微分方程 285

6.3一阶线性微分方程 288

6.3.1一阶线性微分方程 288

6.3.2 Bernoulli方程 290

6.4可降阶的高阶微分方程 293

6.4.1y（n）＝f（x）型的微分方程 293

6.4.2y″＝f（x，y′）型的微分方程 293

6.4.3y″＝f（y，y′）型的微分方程 295

6.5高阶线性微分方程解的性质和结构 297

6.5.1二阶线性齐次微分方程解的性质和结构 298

6.5.2二阶线性非齐次微分方程解的性质和结构 299

6.6高阶常系数线性齐次微分方程 300

6.6.1二阶常系数线性齐次微分方程及其解法 301

6.6.2 n阶常系数线性齐次微分方程及其解法 303

6.7高阶常系数线性非齐次微分方程 304

6.7.1 f（x）＝eλx Pm（x）型 305

6.7.2 f（x）＝eλx ［Pl（x）cosωx＋Pn（x）sinωx］型 308

6.8 Euler方程 312

6.9微分方程在轻工方面的应用 314

模拟考场六 318

数学家史话 Euler与Bernoulli family 319

附录1 常用公式 322

附录2 二阶和三阶行列式 327

附录3 常用曲线 329

习题答案 333