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第1章 函数与极限 1

1.1函数 1

1.1.1集合 1

1.1.2映射 2

1.1.3函数 4

习题1.1 11

1.2数列的极限 12

1.2.1数列 12

1.2.2数列的极限 13

1.2.3收敛数列的性质 15

习题1.2 16

1.3函数的极限 17

1.3.1自变量趋于无穷大时函数的极限 17

1.3.2自变量趋于有限值时函数的极限 18

1.3.3函数极限的性质 20

习题1.3 21

1.4无穷小与无穷大 22

1.4.1无穷小 22

1.4.2无穷大 23

习题1.4 25

1.5极限的运算法则 25

1.5.1极限的四则运算法则 25

1.5.2复合函数的极限运算法则 28

习题1.5 28

1.6极限存在准则 两个重要极限 28

1.6.1夹逼准则 29

1.6.2单调有界收敛准则 30

习题1.6 32

1.7无穷小的比较 32

习题1.7 34

1.8函数的连续性与间断点 34

1.8.1函数的连续性 34

1.8.2函数的间断点及分类 35

习题1.8 37

1.9连续函数的运算与初等函数的连续性 37

1.9.1连续函数的和、差、积及商的连续性 37

1.9.2反函数与复合函数的连续性 37

1.9.3初等函数的连续性 39

习题1.9 40

1.10闭区间上连续函数的性质 40

习题1.10 42

第1章自测题 42

第2章 导数与微分 45

2.1导数概念 45

2.1.1问题的提出 45

2.1.2导数的定义 46

2.1.3求导数举例 47

2.1.4导数的几何意义 49

2.1.5函数的可导性与连续性的关系 49

习题2.1 50

2.2函数的求导法则 50

2.2.1导数的四则运算法则 51

2.2.2反函数的求导法则 52

2.2.3复合函数的求导法则 53

2.2.4初等函数的求导问题 55

习题2.2 57

2.3高阶导数 58

2.3.1高阶导数的定义 58

2.3.2高阶导数的运算法则 60

习题2.3 61

2.4隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 61

2.4.1隐函数的导数 61

2.4.2由参数方程所确定的函数的导数 64

习题2.4 65

2.5函数的微分 65

2.5.1微分的概念 65

2.5.2基本初等函数的微分公式与微分运算法则 68

2.5.3微分在近似计算中的应用 70

习题2.5 71

第2章自测题 71

第3章 微分中值定理 73

3.1微分中值定理 73

3.1.1罗尔定理 73

3.1.2拉格朗日中值定理 74

3.1.3柯西中值定理 77

习题3.1 78

3.2洛必达法则 78

习题3.2 82

3.3泰勒公式 82

习题3.3 87

3.4函数的单调性与曲线的凹凸性 88

3.4.1函数单调性的判定 88

3.4.2曲线的凹凸性与拐点 90

习题3.4 92

3.5函数的极值与最值 93

3.5.1函数的极值及其求法 93

3.5.2最大值最小值问题 96

习题3.5 98

3.6函数图形的描绘 98

习题3.6 100

3.7曲率 101

3.7.1弧微分 101

3.7.2曲率 102

3.7.3曲率圆与曲率半径 105

习题3.7 106

第3章自测题 106

第4章 不定积分 108

4.1不定积分的概念与性质 108

4.1.1原函数与不定积分的概念 108

4.1.2基本积分表 110

4.1.3不定积分的性质 111

习题4.1 112

4.2换元积分法 113

4.2.1第一类换元积分法 113

4.2.2第二类换元积分法 117

习题4.2 121

4.3分部积分法 122

习题4.3 125

4.4有理函数的积分 125

4.4.1真分式的分解 125

4.4.2部分分式的积分 128

4.4.3可化为有理函数的积分举例 128

习题4.4 131

第4章自测题 131

第5章 定积分 133

5.1定积分概念 133

5.1.1定积分问题举例 133

5.1.2定积分定义 134

5.1.3定积分的性质 137

习题5.1 138

5.2微积分基本公式 139

5.2.1变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 139

5.2.2积分上限函数及其导数 139

5.2.3牛顿-莱布尼茨公式 140

习题5.2 142

5.3定积分的换元法和分部积分法 143

5.3.1换元积分法 143

5.3.2分部积分法 146

习题5.3 147

5.4反常积分 148

5.4.1无穷限的反常积分 148

5.4.2无界函数的反常积分 150

习题5.4 152

第6章 定积分的应用 153

6.1定积分的元素法 153

6.2平面图形的面积 154

6.2.1直角坐标系下平面图形的面积 154

6.2.2极坐标系下平面图形的面积 157

习题6.2 158

6.3立体的体积 158

6.3.1平行截面面积为已知的立体的体积 158

6.3.2旋转体的体积 160

习题6.3 161

6.4平面曲线的弧长 162

习题6.4 164

6.5定积分在物理中的应用 164

6.5.1变力沿直线所做的功 164

6.5.2静压力 166

6.5.3引力 166

6.5.4函数的平均值 167

习题6.5 167

第5，6章自测题 168

第7章 常微分方程 170

7.1微分方程的基本概念 170

习题7.1 172

7.2一阶微分方程 173

7.2.1可分离变量的微分方程 173

7.2.2齐次方程 174

7.2.3一阶线性微分方程 176

7.2.4伯努利方程 181

习题7.2 182

7.3可降阶的高阶微分方程 183

7.3.1 y（n）=f（x）型的微分方程 183

7.3.2 y″=f（x，y′）型的微分方程 184

7.3.3 y″=f（y，y′）型的微分方程 185

习题7.3 187

7.4二阶线性微分方程解的结构 187

7.4.1 y″+P（x）y′+Q（x）y=0解的结构 188

7.4.2 y″+P（x）y′十Q（x）y=f（x）解的结构 189

习题7.4 190

7.5二阶常系数齐次线性微分方程 191

习题7.5 193

7.6二阶常系数非齐次线性微分方程 194

7.6.1 f（x）=eλx（a0 xm+a1 xm-1 +…+am）（a0≠0）的情形 194

7.6.2 f（x）=eλx［Pl（x） cosωx+Pn（x） sinωx］（ω≠0）的情形 198

习题7.6 200

7.7常微分方程的简单应用 200

习题7.7 206

第7章自测题 206

部分习题答案与提示 208

附录 几种常用的曲线 222