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第8章 多元函数微分法及其应用 1

8.1 二元函数 1

8.1.1 预备知识 1

8.1.2 二元函数的概念 3

8.1.3 二元函数的极限和连续 4

8.2 偏导数 10

8.2.1 二元函数的增量 11

8.2.2 偏导数的概念及其计算 11

8.2.3 高阶偏导数 15

8.3 全微分 18

8.3.1 全微分定义 18

8.3.2 函数可微分的条件 19

8.3.3 全微分在近似计算中的应用 23

8.4 多元复合函数的求导法则 24

8.4.1 多元复合函数的复合关系 24

8.4.2 多元复合函数的求导法则 25

8.4.3 全微分形式不变性 29

8.5 隐函数的求导法 31

8.5.1 由方程F（x,y）＝0所确定的隐函数的导数 31

8.5.2 由方程F（x,y,z）＝0所确定的隐函数的导数 33

8.5.3 由方程组所确定的隐函数的导数 34

8.6 偏导数的几何应用 37

8.6.1 相关概念 37

8.6.2 空间曲线的切线方程与法平面方程 38

8.6.3 曲面的切平面方程与法线方程 41

8.7 方向导数与梯度 45

8.7.1 方向导数 45

8.7.2 梯度 47

8.8 二元函数的极值 50

8.8.1 二元函数的极值 50

8.8.2 二元函数的最大值与最小值 53

8.8.3 二元函数的条件极值 54

数学实验六 58

第9章 重积分 63

9.1 二重积分的概念 63

9.1.1 二重积分的定义 65

9.1.2 二重积分的性质 66

9.2 二重积分的计算 69

9.2.1 直角坐标系下二重积分的计算 69

9.2.2 极坐标下二重积分的计算 73

9.3 三重积分 79

9.3.1 三重积分的概念 79

9.3.2 直角坐标下三重积分的计算 81

9.3.3 柱坐标下三重积分的计算 84

9.3.4 球坐标下三重积分的计算 86

数学实验七 93

第10章 曲线积分与曲面积分 96

10.1 准备知识 96

10.1.1 场的概念 96

10.1.2 单连通与复连通区域 96

10.1.3 平面区域D的边界曲线L的正向 97

10.1.4 曲面的侧与有向曲面 97

10.2 对弧长的曲线积分 98

10.2.1 对弧长的曲线积分的概念 98

10.2.2 对弧长的曲线积分的性质 99

10.2.3 对弧长的曲线积分的计算 100

10.3 对坐标的曲线积分 104

10.3.1 对坐标的曲线积分的概念 104

10.3.2 对坐标的曲线积分的性质 105

10.3.3 对坐标的曲线积分的计算 106

10.4 格林公式及其应用 109

10.4.1 格林公式 109

10.4.2 格林公式的简单应用 113

10.5 平面上曲线积分与路径无关的条件 115

10.5.1 曲线积分与路径无关的概念 115

10.5.2 曲线积分与路径无关的条件 116

10.5.3 全微分求积 118

10.5.4 两类曲线积分之间的关系 119

10.6 对面积的曲面积分 122

10.6.1 对面积的曲面积分的概念 122

10.6.2 对面积的曲面积分的性质 123

10.6.3 对面积的曲面积分的计算 123

10.7 对坐标的曲面积分 130

10.7.1 对坐标的曲面积分的概念 130

10.7.2 对坐标的曲面积分的性质 132

10.7.3 对坐标的曲面积分的计算 133

10.8 高斯公式 137

10.9 斯托克斯公式 141

10.10 积分学的应用 143

10.10.1 积分学的几何应用 144

10.10.2 积分学的物理应用 146

数学实验八 154

第11章 无穷级数 156

11.1 常数项级数的概念和性质 156

11.1.1 常数项级数的概念 156

11.1.2 级数收敛的必要条件 159

11.1.3 收敛级数的基本性质 159

11.2 常数项级数的审敛法 161

11.2.1 正项级数及其审敛法 161

11.2.2 任意项级数及其审敛法 166

11.3 幂级数 172

11.3.1 函数项级数 172

11.3.2 幂级数及其收敛性 173

11.3.3 幂级数的运算性质 177

11.4 函数展开成幂级数 180

11.4.1 泰勒公式 181

11.4.2 泰勒级数 183

11.4.3 某些初等函数的幂级数展开式 184

11.5 傅里叶级数 189

11.5.1 三角函数系及其正交性 189

11.5.2 三角级数与傅里叶级数 189

11.5.3 函数展开成傅里叶级数 191

数学实验九 198

第12章 常微分方程 203

12.1 微分方程的基本概念 203

12.2 一阶微分方程 206

12.2.1 可分离变量的微分方程 207

12.2.2 齐次微分方程 210

12.2.3 一阶线性微分方程 214

12.2.4 伯努利方程 217

12.2.5 全微分方程 219

12.3 可降阶的高阶微分方程 225

12.3.1 y（n）＝f（x）型微分方程 225

12.3.2 y″＝f（x,y′）型微分方程 225

12.3.3 y″＝f（y,y′）型微分方程 227

12.4 二阶线性微分方程解的结构 230

12.4.1 二阶齐次线性微分方程解的结构 230

12.4.2 二阶非齐次线性微分方程解的结构 232

12.5 二阶常系数线性微分方程 234

12.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程 234

12.5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程 238

数学实验十 245

习题参考答案 250

参考文献 270