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第1章 函数 1

1.1 集合与映射 1

1.1.1 集合的基本概念及其运算 1

1.1.2 区间和邻域 4

1.1.3 映射 5

习题1.1 7

1.2 函数及其基本性质 7

1.2.1 函数的概念 7

1.2.2 函数的四则运算 11

1.2.3 复合函数与反函数的概念 11

1.2.4 函数的几种特性 13

习题1.2 16

1.3 初等函数 17

1.3.1 基本初等函数和初等函数 17

1.3.2 双曲函数和反双曲函数 21

习题1.3 23

总习题1 24

第2章 极限与连续 27

2.1 极限的定义 27

2.1.1 函数的极限 27

2.1.2 无穷小与无穷大 33

2.1.3 数列的极限 37

习题2.1 39

2.2 极限的性质及运算法则 39

2.2.1 极限的性质 39

2.2.2 极限的四则运算法则 42

2.2.3 复合函数的极限运算法则 45

习题2.2 46

2.3 极限存在准则两个重要极限 47

2.3.1 极限存在准则 48

2.3.2 两个重要极限 49

2.3.3 应用举例 52

习题2.3 54

2.4 无穷小的比较 55

习题2.4 58

2.5 函数的连续性 58

2.5.1 函数的增量 59

2.5.2 函数的连续性与间断点 60

2.5.3 连续函数的运算 64

2.5.4 初等函数的连续性 65

习题2.5 66

2.6 闭区间上连续函数的性质 67

习题2.6 69

2.7 极限计算方法举例 69

2.7.1 直接代入法 69

2.7.2 消去公因子法 70

2.7.3 变量替换法 71

2.7.4 利用重要极限法 72

2.7.5 等价无穷小替换法 73

2.7.6 其他方法举例 73

2.7.7 曲线的渐近线 75

习题2.7 77

总习题2 78

第3章 导数与微分 81

3.1 导数的概念 81

3.1.1 导数的定义 81

3.1.2 可导与连续的关系 84

习题3.1 87

3.2 导数的运算法则 87

3.2.1 复合函数求导法则 87

3.2.2 导数的四则运算法则 89

3.2.3 反函数的求导法则 91

3.2.4 基本初等函数的导数公式 92

习题3.2 94

3.3 高阶导数 96

习题3.3 99

3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法 100

3.4.1 隐函数的求导方法 100

3.4.2 由参数方程所确定的函数的求导方法 102

3.4.3 取对数求导方法 104

3.4.4 相关变化率问题举例 105

习题3.4 106

3.5 微分及其应用 107

3.5.1 微分的定义及基本运算法则 107

3.5.2 微分在近似计算中的应用 111

习题3.5 113

总习题3 114

第4章 微分中值定理与导数的应用 117

4.1 微分中值定理 117

4.1.1 Fermat定理 117

4.1.2 Rolle定理 118

4.1.3 Lagrange中值定理 120

4.1.4 Cauchy中值定理 123

习题4.1 124

4.2 L'Hospital法则 125

4.2.1 0／0型与∞／∞型未定式 126

4.2.2 其他类型未定式 129

习题4.2 131

4.3 函数图形的某些几何性态的研究 132

4.3.1 函数的单调性 132

4.3.2 曲线的凹凸性与拐点 135

4.3.3 函数的极值与最大值、最小值 139

4.3.4 函数图形的描绘 144

习题4.3 147

4.4 平面曲线的曲率 149

4.4.1 曲率的几何定义 149

4.4.2 弧微分与曲率的计算公式 150

4.4.3 曲率圆和曲率半径 153

习题4.4 155

4.5 Taylor公式 156

习题4.5 163

4.6 方程的近似解 164

习题4.6 167

总习题4 167

第5章 一元函数的积分学 169

5.1 定积分的概念及基本性质 169

5.1.1 定积分的定义 169

5.1.2 定积分的基本性质 173

习题5.1 176

5.2 Newton Leibniz公式 176

习题5.2 181

5.3 不定积分 181

5.3.1 不定积分的概念与基本性质 181

5.3.2 不定积分的换元积分法 184

5.3.3 不定积分的分部积分法 190

习题5.3 195

5.4 有理函数及某些可化为有理函数的积分 197

5.4.1 有理函数的积分 198

5.4.2 三角函数有理式的积分 202

5.4.3 根式函数有理式的积分 204

5.4.4 积分表的使用方法 205

习题5.4 206

5.5 定积分的计算 207

5.5.1 定积分的换元积分法 207

5.5.2 定积分的分部积分法 209

5.5.3 定积分的计算举例 210

习题5.5 215

5.6 广义积分 216

5.6.1 无限区间上的广义积分 216

5.6.2 无界函数的广义积分 221

5.6.3 Γ函数 226

习题5.6 228

总习题5 229

第6章 定积分的应用 233

6.1 定积分的元素法简介 233

6.2 定积分在几何学中的应用 234

6.2.1 平面图形的面积 234

6.2.2 某些立体的体积 241

6.2.3 曲线的弧长 244

习题6.2 246

6.3 定积分在物理学中的应用 247

6.3.1 变力沿直线所做的功 247

6.3.2 引力 248

6.3.3 水压力 250

习题6.3 251

总习题6 251

第7章 向量代数与空间解析几何简介 253

7.1 向量及其线性运算 253

7.1.1 空间直角坐标系 253

7.1.2 向量的概念与表示方法 255

7.1.3 向量的线性运算 256

7.1.4 向量的坐标表示 260

7.1.5 向量的模与方向余弦 262

习题7.1 263

7.2 向量的数量积与向量积 264

7.2.1 向量的数量积 264

7.2.2 向量的向量积 266

习题7.2 270

7.3 平面与空间直线 270

7.3.1 平面方程 271

7.3.2 空间直线方程 273

7.3.3 平面与平面、直线与直线、直线与平面的位置关系 275

习题7.3 281

7.4 曲面和空间曲线 282

7.4.1 曲面方程 282

7.4.2 空间曲线方程 284

7.4.3 柱面、旋转曲面 287

习题7.4 293

7.5 二次曲面 294

7.5.1 椭球面 294

7.5.2 双曲面 296

7.5.3 抛物面 300

习题7.5 302

总习题7 302

习题参考答案与提示 305

参考书目 330

附录 积分表 331