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第1章 命题逻辑 1

1.1 命题 1

1.2 逻辑联结词 3

1.2.1 基本联结词 3

1.2.2 其他联结词 6

1.3 命题公式与真值表 7

1.3.1 命题公式 7

1.3.2 真值表 8

1.4 命题翻译 9

1.4.1 合取命题 9

1.4.2 可兼与不可兼析取命题 10

1.4.3 条件命题 10

1.4.4 多联结词命题 11

1.5 命题公式的值与等价 14

1.5.1 命题公式的分类 14

1.5.2 命题公式的等价 14

1.5.3 联结词的功能完备集 17

1.5.4 由德·摩根律到对偶原理 17

1.6 范式 19

1.6.1 简单的范式 19

1.6.2 小项与大项 20

1.6.3 主析取范式与主合取范式 21

1.7 推理理论 24

1.7.1 蕴含与论证 24

1.7.2 自然推理系统 26

第2章 谓词逻辑 34

2.1 谓词、个体词与量词 34

2.1.1 个体词与谓词 34

2.1.2 量词与量化 36

2.2 谓词逻辑中的命题翻译 38

2.2.1 特殊化个体词的命题 38

2.2.2 量词量化的命题 38

2.3 量词约束与谓词公式的解释 42

2.3.1 量词对个体词变元的作用 42

2.3.2 谓词公式的解释与求值 43

2.3.3 量词与联结词的搭配 44

2.4 谓词逻辑中的基本等价和蕴含关系 45

2.4.1 基本等价与蕴含关系 46

2.4.2 利用等价关系计算前束范式 49

2.5 谓词演算的推理理论 50

第3章 集合论基础 57

3.1 集合的概念与表示方法 57

3.1.1 集合描述 57

3.1.2 集合的包含与相等 58

3.1.3 空集与全集 59

3.1.4 集合的幂集 61

3.2 集合运算 63

3.2.1 基本运算 63

3.2.2 多集合的交与并 65

3.3 集合运算的性质与证明方法 68

3.3.1 集合运算的性质与演算证明 68

3.3.2 基于定义的集合运算证明方法 69

3.4 序偶与笛卡儿积 72

3.4.1 序偶与元组 73

3.4.2 笛卡儿积 73

第4章 关系 77

4.1 二元关系的含义与表示 77

4.1.1 二元关系 77

4.1.2 关系的矩阵和图表示法 79

4.2 关系运算 80

4.2.1 关系求逆与复合 81

4.2.2 关系运算的性质 82

4.2.3 利用关系图与关系矩阵实现关系运算 84

4.2.4 多关系的复合 86

4.3 关系的性质 88

4.3.1 自反与反自反关系 88

4.3.2 对称与反对称关系 89

4.3.3 传递关系 91

4.3.4 特殊关系的判定 91

4.4 关系的闭包 94

4.4.1 闭包的概念 94

4.4.2 闭包计算 95

4.5 相容关系与等价关系 99

4.5.1 集合的覆盖与划分 99

4.5.2 相容与等价 100

4.5.3 相容关系产生的完全覆盖 101

4.5.4 等价关系产生的划分 102

4.5.5 由覆盖、划分生成相容关系和等价关系 103

4.6 序关系 106

4.6.1 体现部分次序的偏序关系 106

4.6.2 哈斯图 106

4.6.3 链与全序关系 108

4.6.4 偏序集的特殊元素 109

第5章 函数 112

5.1 从关系到函数 112

5.1.1 函数的概念 112

5.1.2 函数集 113

5.1.3 特殊函数 114

5.2 函数的逆与复合 117

5.2.1 双射的反函数 117

5.2.2 函数的复合 117

5.2.3 函数运算的性质 119

5.3 集合的基数 120

5.3.1 集合等势 121

5.3.2 有限集与无限集 122

5.3.3 可数集与不可数集 122

5.3.4 基数比较 124

第6章 运算与代数系统 126

6.1 运算及其性质 126

6.1.1 n元运算 126

6.1.2 二元运算的主要性质 127

6.2 二元运算中的特殊元素 129

6.2.1 幺元 129

6.2.2 零元 130

6.2.3 逆元 131

6.3 代数系统 132

6.3.1 代数与子代数 132

6.3.2 同态与同构 133

6.4 半群与独异点 135

6.5 群与子群 137

6.5.1 群的概念 137

6.5.2 群的性质 139

6.5.3 子群 139

6.6 循环群与置换群 142

6.6.1 循环群 142

6.6.2 置换群 143

6.7 群的陪集分解 146

6.7.1 陪集 146

6.7.2 拉格朗日定理 147

第7章 环、域、格和布尔代数 149

7.1 环和域 149

7.1.1 环 149

7.1.2 域 150

7.2 格 152

7.2.1 格与其诱导的代数系统 152

7.2.2 子格 154

7.2.3 特殊格 154

7.3 布尔代数 158

7.3.1 布尔格诱导的布尔代数 158

7.3.2 典型的布尔代数 159

第8章 图 162

8.1 图的基本概念 162

8.1.1 图的认知 162

8.1.2 结点的度与握手定理 163

8.1.3 完全图与正则图 165

8.1.4 子图、补图与图同构 166

8.2 图的连通性 168

8.2.1 路与回路 168

8.2.2 无向图的连通性 169

8.2.3 有向图的连通性 170

8.3 图的矩阵表示 171

8.3.1 邻接矩阵 171

8.3.2 关联矩阵 172

8.4 二部图、欧拉图与汉密尔顿图 174

8.4.1 二部图 174

8.4.2 欧拉图 176

8.4.3 汉密尔顿图 178

8.5 平面图 180

8.5.1 平面图与欧拉定理 180

8.5.2 平面图的对偶图 182

8.5.3 平面图的着色 183

8.6 树 185

8.6.1 无向树 185

8.6.2 生成树 186

8.6.3 根树 188

附录 符号索引 193

参考文献 195