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1函数 1

1.1预备知识 1

1.2函数概念 2

1.3函数的简单性态 5

1.4反函数 7

1.5复合函数 8

1.6初等函数 9

1.6.1基本初等函数 9

1.6.2初等函数 13

1.7函数关系的建立 13

习题1 14

2极限与连续 18

2.1数列极限 18

2.1.1数列 18

2.1.2等差数列与等比数列 18

2.1.3数列极限 19

2.1.4收敛数列的性质 21

2.2函数的极限 22

2.2.1函数f（x）当x→∞时的极限 22

2.2.2函数f（x）当x→x0时的极限 23

2.2.3函数极限的性质 25

2.2.4函数极限与数列极限的关系 25

2.3无穷小量与无穷大量 26

2.3.1无穷小量 26

2.3.2无穷大量 27

2.3.3无穷小与无穷大的关系 28

2.4极限的运算法则 28

2.5函数极限存在准则 两个重要极限 31

2.5.1极限存在准则1——单调有界数列必有极限 31

2.5.2极限存在准则2——夹逼定理 32

2.5.3重要极限之一：lim s→0sinx/x=1 33

2.5.4重要极限之二：lim s→∞（1+1/x）x=e 35

2.5.5无穷小的比较 36

2.6函数的连续性 38

2.6.1函数连续的定义 38

2.6.2函数的间断点及其分类 39

2.6.3初等函数的连续性 40

2.6.4闭区间上连续函数的性质 41

习题2 42

3导数与微分 49

3.1导数的概念 49

3.1.1导数的定义 49

3.1.2可导与连续的关系 52

3.1.3导数的几何意义 55

3.1.4导函数 56

3.2求导法则 58

3.2.1导数的四则运算 58

3.2.2复合函数的求导法则 61

3.2.3隐函数求导法 64

3.3高阶导数 67

3.4微分及其应用 70

3.4.1微分的定义 70

3.4.2微分的几何意义 71

3.4.3微分的运算 72

3.4.4微分的应用 73

习题3 74

4中值定理与导数的应用 82

4.1中值定理 82

4.1.1罗尔中值定理 82

4.1.2拉格朗日中值定理 84

4.1.3柯西中值定理 87

4.2未定式的定值法——罗必塔法则 88

4.2.1未定式0/0的定值法 88

4.2.2未定式∞/∞的定值法 91

4.2.3其他未定式的定值法 93

4.3函数的单调性、极值与最值 97

4.3.1函数的单调性 97

4.3.2函数的极值 98

4.3.3极值的应用问题——最值 100

4.4曲线的凸性与拐点 103

4.5函数图形的描绘 105

4.5.1曲线的渐近线 105

4.5.2函数图形的描绘 106

习题4 109

5积分学 114

5.1不定积分概念 114

5.1.1原函数与不定积分 114

5.1.2不定积分的性质及基本积分表 115

5.2不定积分的计算 118

5.2.1第一类换元法 118

5.2.2第二类换元法 121

5.2.3分部积分法 123

5.3几种特殊类型函数的积分 125

5.3.1有理函数的积分 126

5.3.2三角函数有理式的积分 128

5.3.3简单无理函数的积分 131

5.4定积分概念 132

5.4.1引例 132

5.4.2定积分的定义 133

5.4.3定积分的几何意义 135

5.5定积分的基本性质 135

5.6微积分基本定理 138

5.6.1变上限函数 138

5.6.2微积分的基本定理 140

5.7定积分计算 142

5.7.1换元法 142

5.7.2分部积分法 145

5.8广义积分 148

5.8.1无穷区间上的广义积分 148

5.8.2无界函数的广义积分 150

5.9定积分的应用 151

5.9.1元素法 151

5.9.2平面图形的面积 152

5.9.3立体的体积 155

5.9.4平面曲线的弧长 157

5.9.5定积分在物理上的应用 158

5.9.6函数的平均值 160

习题5 161

6微分方程 172

6.1微分方程的基本概念 172

6.2一阶微分方程 173

6.2.1变量可分离方程 174

6.2.2齐次微分方程 176

6.2.3一阶线性方程 177

6.3特殊高阶微分方程 180

6.3.1y″=f（x）型 180

6.3.2y″=f（x，y′）型 181

6.3.3y″=f（y，y′）型 182

6.4线性微分方程解的结构 183

6.4.1二阶线性齐次方程解的结构 183

6.4.2二阶线性非齐次方程解的结构 184

6.5常系数线性微分方程的解法 185

6.5.1二阶常系数线性齐次方程的解法 185

6.5.2二阶常系数线性非齐次方程的解法 187

6.6微分方程应用举例 192

习题6 197

附录 积分表 202

习题答案 212