普通高等教育十二五规划教材 实变函数PDF电子书下载

第1章 集合 1

1.1 集合及其运算 1

1.1.1 集合的概念 1

1.1.2 集合的运算 2

1.1.3 集合列的极限集 5

1.1.4 集类 7

1.1.5 集合与集合的特征函数的关系 9

1.2 集合的基数 11

1.2.1 映射 11

1.2.2 集合的基数 13

1.2.3 伯恩斯坦（Bernstein）定理 15

1.3 可数集 15

1.3.1 可数集概念 16

1.3.2 可数集性质 16

1.4 不可数集 20

1.4.1 不可数集概念 21

1.4.2 连续基数 21

1.5 集合与函数 26

习题1 30

第2章 Rn中的点集 33

2.1 聚点、内点、边界点及波尔察诺-魏尔斯特拉斯（Bolzano-Weierstrass）定理 33

2.1.1 Rn中的距离 33

2.1.2 聚点、内点、边界点及波尔察诺-魏尔斯特拉斯定理 34

2.2 开集、闭集与完备集 36

2.3 博雷尔集 40

2.4 开集的构造 42

2.4.1 开集的构造 42

2.4.2 一维闭集、完备集的构造 43

2.5 点集之间的距离 44

习题2 48

第3章 测度理论 51

3.1 外测度 51

3.1.1 外测度的概念 51

3.1.2 外测度的性质 52

3.2 可测集 55

3.2.1 可测集的概念 55

3.2.2 可测集的性质 56

3.3 可测集的结构 59

3.3.1 博雷尔集的可测性 59

3.3.2 可测集与博雷尔集的关系 61

3.4 乘积空间 65

3.4.1 乘积空间的区间 65

3.4.2 乘积空间的可测集 67

习题3 69

第4章 可测函数 72

4.1 可测函数的定义及其简单性质 72

4.1.1 简单函数 72

4.1.2 非负可测函数 75

4.1.3 一般可测函数 77

4.1.4 可测函数的基本性质 79

4.1.5 可测函数与简单函数的关系 84

4.2 可测函数列依测度收敛 85

4.2.1 依测度收敛的概念 85

4.2.2 依测度收敛的简单性质 86

4.3 可测函数列的收敛关系 88

4.3.1 叶果洛夫（Egoroff）定理 88

4.3.2 勒贝格定理和里斯定理 92

4.4 可测函数的结构 94

4.4.1 鲁津定理 94

4.4.2 鲁津定理的延拓形式 97

习题4 99

第5章 积分理论 103

5.1 非负简单函数的勒贝格积分 103

5.1.1 非负简单函数的勒贝格积分 103

5.1.2 非负简单函数的勒贝格积分的基本性质 105

5.2 非负可测函数的勒贝格积分 107

5.2.1 非负可测函数的勒贝格积分 107

5.2.2 非负可测函数的勒贝格积分的基本性质 108

5.2.3 列维（Levi）定理 110

5.2.4 勒贝格基本定理 112

5.2.5 法都（Fatou）引理 114

5.3 一般可测函数的勒贝格积分 116

5.3.1 勒贝格可积函数概念 116

5.3.2 勒贝格可积函数基本性质 117

5.3.3 勒贝格控制收敛定理 122

5.3.4 黎曼（Riemann）积分与勒贝格积分 127

5.4 重积分与累次积分 134

5.4.1 富比尼定理 135

5.4.2 富比尼定理的应用 139

习题5 141

第6章 微分与积分 147

6.1 有界变差函数 147

6.1.1 有界变差函数的概念 147

6.1.2 有界变差函数的性质 148

6.2 导数与原函数 150

6.2.1 维它利（Vitali）覆盖 150

6.2.2 Dini导数 152

6.2.3 单调函数可微性 153

6.2.4 原函数 157

6.3 绝对连续函数与不定积分 160

6.3.1 绝对连续函数 160

6.3.2 不定积分 160

6.3.3 牛顿-莱布尼兹公式 161

习题6 163

第7章 抽象测度与抽象积分简介 165

7.1 集合环上的测度 165

7.1.1 集合环上的测度 165

7.1.2 外测度与测度的延拓 167

7.1.3 豪斯道夫（Hausdorff）测度与维数 170

7.2 抽象积分 172

7.2.1 可测函数 172

7.2.2 非负可测函数的积分 174

7.2.3 一般可测函数的积分 175

索引 177

参考文献 180