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第1章 分析证明中的几种常用处理方法与技巧 1

1.1截断 1

习题1.1 8

1.2叠加 10

习题1.2 15

1.3局部化方法 17

习题1.3 25

1.4借助辅助函数 26

习题1.4 31

1.5离散型问题与连续型问题的相互转换 32

习题1.5 38

1.6ε逼迫方法 39

习题1.6 45

1.7借助于构造点列和抽取子列 46

习题1.7 53

1.8关于利用实数空间基本定理证明问题的几点注释 54

1.8.1有理数集的性质 54

1.8.2实数集的性质 55

1.8.3关于利用实数空间基本定理证明问题的几点注释 57

习题1.8 62

第2章Abel方法 65

2.1 Abel变换与Abel引理 65

习题2.1 68

2.2 Abel方法在级数收敛性判别中的应用 69

2.2.1数项级数收敛性的判别法 69

2.2.2函数项级数一致收敛性判别法 72

习题2.2 74

2.3 Abel方法在广义积分收敛性判别中的应用 75

2.3.1分部积分公式与积分第二中值定理 75

2.3.2无穷限广义积分收敛性的Abel判别法与Dirichlet判别法 79

2.3.3带参变量广义积分一致收敛性的Abel判别法与Dirichlet判别法 82

习题2.3 84

2.4 Abel级数求和法 84

习题2.4 86

2.5差分的概念及简单应用 87

习题2.5 90

第3章 不等式与估值问题 91

3.1不等式的初等证法 91

习题3.1 95

3.2证明不等式的凸函数方法 96

3.2.1凸函数的定义及基本性质 97

3.2.2证明不等式的凸函数方法 102

习题3.2 112

3.3利用微分学证明不等式 115

习题3.3 121

3.4利用积分学证明不等式 122

习题3.4 130

3.5估值问题 132

习题3.5 139

第4章 几种运算次序的交换性 141

4.1一致收敛性 141

4.1.1函数项级数的一致收敛性 141

4.1.2含参变量积分的一致收敛性 147

习题4.1 151

4.2运算次序的交换性 152

4.2.1求和与其他运算的可换性 153

4.2.2积分与其他运算次序的可换性 158

习题4.2 165

第5章 阶的估计及应用 167

5.1阶的定义及运算 167

5.1.1无穷小量与无穷大量的阶的定义 167

5.1.2阶的性质和运算 168

习题5.1 170

5.2阶的估计 171

5.2.1函数的Taylor展开式 171

5.2.2阶与主部的求法 176

习题5.2 179

5.3阶的应用 180

5.3.1利用阶计算极限 180

5.3.2阶的估计在级数与广义积分收敛性中的应用 185

习题5.3 189

第6章 极限的存在性与求值问题 191

6.1关于极限定义的若干注释 191

6.1.1关于过程的刻画和变量的刻画 192

6.1.2关于变量不存在极限的描述 193

6.1.3变量趋于无穷大的情形 196

习题6.1 197

6.2关于极限的存在性 197

习题6.2 222

6.3极限的求值 226

6.3.1利用定义和两边夹原理求极限 226

6.3.2利用Stolz定理和L′Hospital法则求极限 232

6.3.3建立以极限值为变元的方程求极限 236

6.3.4利用积分和求极限 239

6.3.5利用Reimann引理求极限 242

6.3.6利用Toeplitz定理求极限 242

6.3.7求极限的其他方法 246

习题6.3 254

附录Ⅰ Peano曲线 257

附录Ⅱ关于e的超越性 259

主要参考书目 262