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第8章 无穷级数 1

8.1数项级数的概念与性质 1

8.1.1数项级数的概念 1

8.1.2数项级数与无穷积分的关系 5

8.1.3数项级数的基本性质 5

习题8.1 8

8.2数项级数的审敛法 9

8.2.1正项级数及其审敛法 10

8.2.2交错级数及其审敛法 17

8.2.3绝对收敛与条件收敛 19

8.2.4绝对收敛级数的性质 21

8.2.5柯西审敛原理 23

习题8.2 25

8.3幂级数 26

8.3.1函数项级数的一般概念 26

8.3.2幂级数及其收敛域 27

8.3.3幂级数的运算与性质 33

习题8.3 38

8.4函数的幂级数展开式 38

8.4.1泰勒公式与泰勒级数 38

8.4.2函数展开成幂级数的方法 43

习题8.4 50

8.5泰勒公式与幂级数展开式的简单应用 51

8.5.1计算极限 51

8.5.2微分不（恒）等式的证明 52

8.5.3求数项级数的和 53

8.5.4欧拉公式 53

8.5.5近似计算 55

习题8.5 57

8.6傅里叶级数 58

8.6.1三角函数系的正交性 58

8.6.2以2π为周期的函数展开成傅里叶级数 60

8.6.3正弦级数和余弦级数 63

8.6.4以2ι为周期的周期函数的傅里叶展开式 67

习题8.6 70

自测题8 70

第9章 向量代数与空间解析几何 76

9.1向量及其线性运算 76

9.1.1空间直角坐标系 76

9.1.2向量的基本概念 78

9.1.3向量的线性运算 79

9.1.4向量的位置关系 81

9.1.5向量的坐标表示 82

9.1.6方向角与方向余弦 83

习题9.1 84

9.2向量的数量积与向量积 85

9.2.1数量积 85

9.2.2两向量数量积的直角坐标运算 86

9.2.3向量在轴上的投影 87

9.2.4向量积 87

9.2.5向量积的直角坐标运算 88

9.2.6向量的混合积 90

习题9.2 92

9.3平面及其方程 92

9.3.1平面的点法式方程 92

9.3.2平面的一般式方程 94

9.3.3平面的截距式方程 95

9.3.4两平面间的关系 96

9.3.5点到平面的距离 97

习题9.3 98

9.4空间直线方程 98

9.4.1直线的一般式方程 98

9.4.2直线的点向式方程 99

9.4.3两直线间的位置关系 101

9.4.4直线与平面的位置关系 102

9.4.5平面束方程 103

9.4.6空间点、直线与平面的距离公式 104

习题9.4 105

9.5常见的曲面方程 106

9.5.1曲面方程 107

9.5.2柱面 107

9.5.3旋转曲面 108

9.5.4常见的二次曲面 110

习题9.5 113

9.6空间曲线及其方程 114

9.6.1空间曲线的一般方程 114

9.6.2空间曲线的参数方程 115

9.6.3空间曲线在坐标平面上的投影 116

习题9.6 119

自测题9 119

第10章 多元函数微分学 121

10.1多元函数的基本概念 121

10.1.1区域 121

10.1.2n维空间 123

10.1.3多元函数的概念 123

10.1.4多元函数的极限 125

10.1.5多元函数的连续性 127

习题10.1 129

10.2多元函数的偏导数 129

10.2.1偏导数的定义 129

10.2.2偏导数的计算 131

10.2.3高阶偏导数 133

习题10.2 135

10.3全微分 136

10.3.1全微分的定义 136

10.3.2全微分与偏导数的关系 138

10.3.3全微分的应用 139

习题10.3 140

10.4链式法则 141

10.4.1复合函数的中间变量均为多元函数的情形 141

10.4.2复合函数的中间变量均为一元函数的情形 142

10.4.3复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形 143

10.4.4全微分的形式不变性 145

习题10.4 146

10.5隐函数的求导公式 147

10.5.1由方程确定的一元隐函数情形 147

10.5.2由方程确定的二元隐函数情形 148

10.5.3由方程组确定的两个隐函数情形 149

习题10.5 150

10.6方向导数与梯度 152

10.6.1方向导数 152

10.6.2梯度 154

习题10.6 156

10.7多元函数微分学的几何应用 157

10.7.1空间曲线的切线与法平面 157

10.7.2曲面的切平面与法线 160

习题10.7 162

10.8多元函数的极值 164

10.8.1极值 164

10.8.2条件极值 168

习题10.8 170

自测题10 171

第11章 重积分 175

11.1二重积分的概念与性质 175

11.1.1引例 175

11.1.2二重积分的定义 177

11.1.3二重积分的性质 178

习题11.1 183

11.2二重积分的计算 184

11.2.1直角坐标系下二重积分的计算方法 185

11.2.2二重积分的换元公式与极坐标下二重积分的计算方法 192

习题11.2 198

11.3三重积分 202

11.3.1三重积分的概念与性质 202

11.3.2三重积分的计算 204

习题11.3 214

11.4重积分的应用 215

11.4.1曲顶柱体的体积 215

11.4.2曲面的面积 218

11.4.3质心 221

11.4.4转动惯量 222

11.4.5引力 225

习题11.4 226

自测题11 227

第12章 曲线积分与曲面积分 230

12.1第一型曲线积分 230

12.1.1物质曲线的质量 230

12.1.2第一型曲线积分的概念 231

12.1.3第一型曲线积分的性质 233

12.1.4第一型曲线积分的计算 234

12.1.5物质曲线的质心与转动惯量 236

习题12.1 237

12.2第二型曲线积分 238

12.2.1变力沿曲线所做的功 238

12.2.2第二型曲线积分的概念 240

12.2.3第二型曲线积分的性质 242

12.2.4第二型曲线积分的计算 243

12.2.5两类曲线积分的关系 247

习题12.2 249

12.3格林公式曲线积分与路径的关系 250

12.3.1格林公式 250

12.3.2平面上曲线积分与路径无关的条件 256

习题12.3 262

12.4第一型曲面积分 263

12.4.1物质曲面的质量 263

12.4.2第一型曲面积分的概念 264

12.4.3第一型曲面积分的性质 265

12.4.4第一型曲面积分的计算 265

习题12.4 268

12.5第二型曲面积分 269

12.5.1非匀速流体的流量 269

12.5.2第二型曲面积分的概念与性质 271

12.5.3第二型曲面积分的计算 273

12.5.4两类曲面积分之间的联系 276

习题12.5 279

12.6高斯公式与斯托克斯公式 279

12.6.1高斯公式 280

12.6.2斯托克斯公式 285

习题12.6 290

自测题12 292

第13章 场论与向量函数初步 296

13.1场论初步 296

13.1.1场的概念 296

13.1.2梯度场 297

13.1.3散度场 299

13.1.4旋度场 301

13.1.5几种特殊的向量场 303

习题13.1 305

13.2向量函数初步 305

13.2.1一元向量函数的微分 305

13.2.2一元向量函数的积分 309

习题13.2 311

自测题13 311

附录 常用数学公式 312

部分习题答案与提示 323

参考文献 342