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第一章 绪论 1

1.1 计算方法课程的基本概念 1

1.2 误差的基本概念 3

1.2.1 误差及分类 3

1.2.2 绝对误差与相对误差 3

1.2.3 有效数字 4

1.3 设计算法的注意问题 6

1.3.1 选用稳定的算法 6

1.3.2 注意简化计算步骤，减少运算次数 8

1.3.3 要避免两个相近数相减 9

1.3.4 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法 10

1.3.5 要注意浮点运算的特点，防止大数“吃掉”小数 11

1.3.6 计算过程中应十分小心地处理病态的数学问题 11

1.4 向量与矩阵的范数 12

1.4.1 向量范数 12

1.4.2 矩阵范数 15

1.5 软件MATLAB介绍 19

1.5.1 MATLAB的工作环境 19

1.5.2 搜索路径与扩展 21

1.5.3 MATLAB的帮助系统 21

1.5.4 MATLAB绘图及程序设计 22

第二章 插值法 29

2.1 插值法的基本概念 29

2.2 函数插值逼近 30

2.2.1 拉格朗日插值法 30

2.2.2 牛顿插值公式 36

2.2.3 埃尔米特（Hermite）插值 43

2.2.4 分段低次插值 47

2.2.5 三次样条插值 50

2.3 数值积分的插值型求积公式 55

2.3.1 梯形公式、辛普生公式与柯特斯公式 55

2.3.2 龙贝格求积公式 62

2.3.3 高斯型求积公式 65

2.3.4 重积分数值求积公式 68

2.4 数值微分的插值型求导公式 71

2.4.1 两点公式 72

2.4.2 三点公式 72

第三章 逼近法 76

3.1 函数逼近 76

3.1.1 函数逼近的基本概念 76

3.1.2 正交多项式 80

3.1.3 最佳一致逼近 86

3.1.4 最佳平方逼近 90

3.2 曲线拟合的最小二乘法 94

3.2.1 基本原理 94

3.2.2 线性最小二乘拟合 95

3.2.3 非线性最小二乘拟合 100

3.3 超定方程组的最小二乘解 102

第四章 矩阵分解法 106

4.1 矩阵分解 106

4.1.1 矩阵的三角分解 106

4.1.2 矩阵的QR分解 117

4.1.3 矩阵的SVD分解 129

4.2 线性方程组的直接算法 132

4.2.1 直接三角分解法 133

4.2.2 平方根法（Cholesky分解） 134

4.2.3 三对角方程组 135

4.3 矩阵特征值问题计算 137

4.3.1 引言 137

4.3.2 雅可比方法 142

4.3.3 QR方法 147

第五章 迭代法 160

5.1 迭代法的基本概念 160

5.2 线性方程组迭代数值解 162

5.2.1 雅可比迭代法 163

5.2.2 高斯-赛德尔迭代法 164

5.2.3 超松弛迭代法 167

5.3 非线性方程迭代数值解 183

5.3.1 迭代法及其收敛性 184

5.3.2 迭代法的加速收敛 192

5.3.3 牛顿（Newton）迭代法 197

5.3.4 非线性方程组数值解 204

5.4 矩阵的特征值与特征向量迭代数值解 211

5.4.1 幂法 211

5.4.2 反幂法 219

第六章 泰勒展式法 226

6.1 Taylor公式 226

6.1.1 一元函数的Taylor公式 226

6.1.2 多元函数的Taylor公式 228

6.2 数值微分 228

6.2.1 差商公式 229

6.2.2 变步长中点方法 230

6.2.3 Richardson外推加速法 231

6.3 龙贝格数值积分 232

6.3.1 梯形公式的余项展开式 233

6.3.2 龙贝格算法 237

6.4 常微分方程初值问题数值解法 244

6.4.1 泰勒级数法 244

6.4.2 欧拉（Euler）方法 246

6.4.3 龙格-库塔法 251

6.4.4 线性多步法 257

6.4.5 一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法 261

习题答案 266

参考文献 270