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第1章 基础知识 1

趣味阅读——数e的由来 1

1.1 代数基础知识 2

1.1.1 指数及其运算 2

1.1.2 对数及其运算 3

1.1.3 方程 5

1.1.4 不等式 8

习题1-1 13

1.2 函数 14

1.2.1 函数的概念与性质 14

1.2.2 基本初等函数 17

1.2.3 复合函数 20

1.2.4 初等函数和分段函数 21

习题1-2 22

1.3 建立函数关系 23

1.3.1 建立函数关系式 23

1.3.2 工程技术中函数的建立 24

1.3.3 经济函数的建立 25

习题1-3 28

本章小结 29

复习题一 30

数学实验一 初识数学软件MATLAB及绘图 31

拓展阅读——斐波那契数列 34

第2章 极限与连续 36

趣味阅读——阿基里斯追龟（芝诺悖论） 36

2.1 极限的概念 37

2.1.1 数列的极限 37

2.1.2 函数的极限 38

2.1.3 无穷小量与无穷大量 42

习题2-1 44

2.2 极限的性质和运算法则 45

2.2.1 极限的性质 45

2.2.2 极限的运算法则 45

2.2.3 极限的求法 46

习题2-2 49

2.3 两个重要极限及无穷小的比较 50

2.3.1 两个重要极限 50

2.3.2 无穷小的比较 52

习题2-3 54

2.4 函数的连续性 55

2.4.1 连续函数的概念 55

2.4.2 函数的间断点 56

2.4.3 初等函数的连续性 57

2.4.4 闭区间上连续函数的性质 58

习题2-4 59

本章小结 60

复习题二 61

数学实验二 利用MATLAB软件求极限 63

拓展阅读——刘徽及割圆术 64

第3章 一元函数微分学 66

趣味阅读——微积分产生的历史背景 66

3.1 导数的概念 67

3.1.1 案例分析 67

3.1.2 导数的概念 68

3.1.3 求导数举例 69

3.1.4 用导数表示实际量——变化率模型 70

3.1.5 函数的可导性与连续性的关系 72

习题3-1 73

3.2 导数的运算 74

3.2.1 导数的基本公式 74

3.2.2 导数的四则运算法则 74

3.2.3 复合函数的求导法则 75

习题3-2 76

3.3 高阶导数 77

3.3.1 高阶导数的定义 77

3.3.2 高阶导数的计算 78

习题3-3 79

3.4 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数 79

3.4.1 隐函数的导数 79

3.4.2 由参数方程确定的函数的导数 82

3.4.3 对数求导法 82

习题3-4 83

3.5 函数的微分及其应用 84

3.5.1 微分的概念 84

3.5.2 微分的几何意义 85

3.5.3 微分的运算 86

3.5.4 微分在近似计算中的应用 87

习题3-5 90

本章小结 91

复习题三 91

数学实验三 用MATLAB求函数导数 93

拓展阅读——微积分的奠基者：牛顿和莱布尼茨 93

第4章 导数的应用 95

趣味阅读——蜂巢中的数学 95

4.1 利用导数求极限（洛必达法则） 96

习题4-1 98

4.2 函数的单调性与极值 99

4.2.1 函数的单调性 99

4.2.2 函数的极值 101

习题4-2 103

4.3 曲线的凹凸性与拐点 103

习题4-3 105

4.4 利用导数求最值 105

习题4-4 108

4.5 曲率 109

4.5.1 曲率及其计算公式 109

4.5.2 曲率圆与曲率半径 111

习题4-5 112

4.6 导数在经济分析中的应用 112

4.6.1 边际分析 112

4.6.2 弹性分析 114

习题4-6 115

本章小结 115

复习题四 116

数学实验四用MATLAB求函数的极值 117

拓展阅读——人民的数学家华罗庚 119

第5章 一元函数的积分学及其应用 121

资料阅读——积分学的发展过程 121

5.1 定积分的概念 122

5.1.1 两个引例 122

5.1.2 定积分的概念 124

5.1.3 定积分的几何意义 126

习题5-1 129

5.2 不定积分的概念与性质 130

5.2.1 原函数和不定积分的概念 130

5.2.2 不定积分的几何意义 131

5.2.3 基本积分公式 132

习题5-2 134

5.3 微积分基本公式 136

5.3.1 引例 136

5.3.2 微积分基本公式 137

5.3.3 定积分的性质 137

习题5-3 140

5.4 不定积分的积分方法 141

5.4.1 不定积分的换元积分法 141

5.4.2 不定积分的分部积分法 146

习题5-4 149

5.5 定积分的积分方法 150

5.5.1 定积分的换元积分法 150

5.5.2 定积分的分部积分法 152

习题5-5 154

5.6 广义积分 154

5.6.1 无限区间的广义积分 155

5.6.2 无界函数的广义积分（瑕积分） 156

习题5-6 158

5.7 定积分的应用 158

5.7.1 定积分的微元法 158

5.7.2 定积分在几何上的应用 159

5.7.3 定积分在物理上的应用 165

5.7.4 定积分在经济上的应用 166

习题5-7 168

本章小结 169

复习题五 170

数学实验五 用MATLAB求定积分 173

拓展阅读——数学家阿基米德 174

第6章 多元函数的微积分初步 176

趣味阅读——阿基米德轶事 176

6.1 空间解析几何简介 177

6.1.1 空间直角坐标系 177

6.1.2 曲面及其方程 179

6.1.3 空间曲线 182

习题6-1 183

6.2 多元函数的概念、极限与连续性 184

6.2.1 多元函数的概念 184

6.2.2 二元函数的极限 186

6.2.3 二元函数的连续性 187

习题6-2 187

6.3 偏导数 188

6.3.1 偏导数的概念及求法 188

6.3.2 高阶偏导数 189

习题6-3 190

6.4 全微分 191

6.4.1 全微分的概念 191

6.4.2 全微分在近似计算中的应用 192

习题6-4 193

6.5 多元复合函数与隐函数微分法 193

6.5.1 多元复合函数微分法 193

6.5.2 隐函数的微分法 195

习题6-5 196

6.6 二元函数的极值和最值 197

6.6.1 二元函数的极值 197

6.6.2 二元函数的最大值与最小值 198

6.6.3 条件极值 199

习题6-6 201

6.7 二重积分的概念与性质 201

6.7.1 两个实例 201

6.7.2 二重积分的定义 203

6.7.3 二重积分的性质 203

习题6-7 204

6.8 二重积分的计算 205

6.8.1 直角坐标系下二重积分的计算方法 205

6.8.2 极坐标下二重积分的计算方法 208

习题6-8 209

6.9 二重积分在几何上的应用 210

6.9.1 体积和平面图形的面积 210

6.9.2 曲面的面积 211

习题6-9 212

本章小结 213

复习题六 214

数学实验六用MATLAB求多元函数的偏导数 215

拓展阅读——数学家高斯 217

第7章 微分方程 219

资料阅读——微分方程发展简史 219

7.1 微分方程的基本概念 220

7.1.1 引例 220

7.1.2 微分方程的概念 221

习题7-1 222

7.2 一阶微分方程 223

7.2.1 可分离变量的微分方程 223

7.2.2 齐次型微分方程 224

7.2.3 一阶线性微分方程 225

习题7-2 227

7.3 二阶常系数线性微分方程 228

7.3.1 二阶常系数齐次线性微分方程 228

7.3.2 二阶常系数非齐次线性微分方程 231

习题7-3 233

7.4 微分方程的应用 234

习题7-4 237

本章小结 237

复习题七 239

数学实验七用MATLAB求解微分方程 240

拓展阅读——数学家陈省身 241

第8章 无穷级数 243

趣味阅读——冯·诺依曼与蜜蜂问题 243

8.1 常数项级数的概念和性质 244

8.1.1 常数项级数的概念 244

8.1.2 常数项级数的基本性质 247

习题8-1 248

8.2 常数项级数的敛散性 248

8.2.1 正项级数及其审敛法 248

8.2.2 交错级数及其审敛法 250

8.2.3 绝对收敛与条件收敛 251

习题8-2 252

8.3 幂级数 253

8.3.1 函数项级数的概念 253

8.3.2 幂级数及其收敛性 254

8.3.3 幂级数的运算 257

习题8-3 259

8.4 函数展开成幂级数 259

8.4.1 泰勒级数 259

8.4.2 将函数展开成幂级数 260

习题8-4 262

本章小结 263

复习题八 264

数学建模简介 265

拓展阅读——冯·诺依曼 268

附录 初等数学常用公式 271

参考文献 273