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第7章 空间解析几何与向量代数 1

7.1 向量及其线性运算 1

7.1.1 向量的概念 1

7.1.2 向量的线性运算 2

7.2 空间直角坐标系和向量的坐标 6

7.2.1 空间直角坐标系 6

7.2.2 空间两点间的距离 8

7.2.3 向量的坐标表示 9

7.2.4 利用坐标进行向量的线性运算 10

7.2.5 向量的模和方向余弦 12

7.2.6 向量在轴上的投影 13

7.3 向量的数量积、向量积和混合积 15

7.3.1 向量的数量积 15

7.3.2 向量的向量积 18

7.3.3 向量的混合积 21

7.4 平面及其方程 23

7.4.1 曲面方程的概念 23

7.4.2 平面的点法式方程 24

7.4.3 平面的一般方程 25

7.4.4 平面的三点式和截距式方程 26

7.4.5 两平面的夹角 28

7.4.6 点到平面的距离 29

7.5 直线及其方程 31

7.5.1 直线的一般方程 31

7.5.2 直线的对称式方程 32

7.5.3 直线的参数方程 33

7.5.4 有关直线的几个问题 34

7.6 曲面及其方程 40

7.6.1 球面 40

7.6.2 旋转曲面 40

7.6.3 柱面 43

7.6.4 二次曲面 45

7.7 曲线及其方程 48

7.7.1 空间曲线的一般方程 48

7.7.2 空间曲线的参数方程 49

7.7.3 空间曲线在坐标平面上的投影 50

综合练习题七 52

第8章 多元函数微分学 55

8.1 多元函数的极限与连续 55

8.1.1 平面点集的基本概念 55

8.1.2 多元函数的概念 57

8.1.3 多元函数的极限 59

8.1.4 多元函数的连续性 60

8.2 偏导数 63

8.2.1 偏导数的定义 63

8.2.2 偏导数的几何意义 66

8.2.3 高阶偏导数 66

8.3 全微分 69

8.3.1 偏增量与全增量 69

8.3.2 全微分的定义 70

8.3.3 可微的条件 70

8.3.4 全微分在近似计算中的应用 73

8.4 多元复合函数的求导法则 74

8.4.1 多元复合函数的求导法则 74

8.4.2 全微分的形式不变性 81

8.5 隐函数的求导公式 82

8.5.1 一个方程的情形 82

8.5.2 方程组的情形 86

8.6 方向导数与梯度 88

8.6.1 方向导数 88

8.6.2 梯度 91

8.7 多元函数微分学的几何应用 95

8.7.1 空间曲线的切线与法平面 95

8.7.2 空间曲面的切平面与法线 97

8.8 多元函数的极值 99

8.8.1 多元函数的极值 99

8.8.2 多元函数的最大值和最小值 102

8.8.3 条件极值与拉格朗日乘数法 103

综合练习题八 106

第9章 重积分 109

9.1 二重积分的概念与性质 109

9.1.1 实际背景 109

9.1.2 二重积分的定义 111

9.1.3 二重积分的性质 112

9.2 二重积分的计算 114

9.2.1 直角坐标系下二重积分的计算 114

9.2.2 极坐标系下二重积分的计算 123

9.2.3 二重积分的换元法与广义二重积分 128

9.2.4 曲面的面积 131

9.3 三重积分 134

9.3.1 三重积分的概念与性质 134

9.3.2 利用直角坐标计算三重积分 136

9.3.3 利用柱面坐标计算三重积分 141

9.3.4 利用球面坐标计算三重积分 144

综合练习题九 148

第10章 曲线积分与曲面积分 151

10.1 对弧长的曲线积分 151

10.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质 151

10.1.2 对弧长的曲线积分的计算法 153

10.2 对坐标的曲线积分 156

10.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 156

10.2.2 对坐标的曲线积分的计算法 159

10.2.3 两类曲线积分之间的联系 163

10.3 格林公式及其应用 165

10.3.1 格林公式 165

10.3.2 平面曲线积分与路径无关的等价条件 170

10.3.3 全微分求积与全微分方程 173

10.4 对面积的曲面积分 176

10.4.1 曲面形物体的质量 176

10.4.2 对面积的曲面积分的概念与性质 176

10.4.3 对面积的曲面积分的计算 177

10.5 对坐标的曲面积分 180

10.5.1 有向曲面及其投影 180

10.5.2 对坐标的曲面积分的概念与性质 181

10.5.3 对坐标的曲面积分的计算法 184

10.5.4 两类曲面积分之间的联系 187

10.6 高斯公式 通量与散度 190

10.6.1 高斯公式 190

10.6.2 通量与散度 193

10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度 196

10.7.1 斯托克斯公式 196

10.7.2 环流量与旋度 198

综合练习题十 200

第11章 无穷级数 203

11.1 常数项级数的概念和性质 203

11.1.1 常数项级数的概念 203

11.1.2 等比级数 205

11.1.3 无穷级数的基本性质 205

11.2 正项级数及其审敛法 208

11.2.1 正项级数收敛的充分必要条件 208

11.2.2 比较审敛法 209

11.2.3 比值审敛法与根值审敛法 213

11.3 任意项级数的审敛法 215

11.3.1 交错级数及其审敛法 215

11.3.2 绝对收敛与条件收敛 217

11.4 幂级数 219

11.4.1 函数项级数的概念 219

11.4.2 幂级数及其收敛性 220

11.4.3 幂级数的运算性质 224

11.5 函数展开成幂函数 227

11.5.1 泰勒级数 227

11.5.2 函数展开成幂级数 228

11.6 傅里叶级数 233

11.6.1 三角级数与三角函数系的正交性 233

11.6.2 以2π为周期的函数展开成傅里叶级数 234

11.6.3 正弦级数和余弦级数 238

11.6.4 以2l为周期的函数展开成傅里叶级数 242

综合练习题十一 246

附录 249

二阶与三阶行列式 249

习题与综合练习题参考答案 252

参考文献 267