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第一部分 微积分 3

第一章 函数 极限 连续 3

大纲解读 3

考试内容 3

考试要求 3

大纲知识点精解 3

1 函数 3

考点梳理 3

一、基本概念 3

二、重要性质、公式与结论 6

例题解析 7

题型一 求函数的定义域与函数表达式 7

题型二 函数的性质 8

2 极限 10

考点梳理 10

一、基本概念 10

二、重要性质、公式与结论 11

例题解析 14

题型一 求函数极限 14

题型二 求数列极限 20

题型三 无穷小的比较 23

题型四 已知极限或无穷小求待定参数 25

题型五 求解含参变量的极限 27

3 函数的连续与间断 27

考点梳理 27

一、基本概念 27

二、重要性质、公式与结论 28

例题解析 29

题型一 初等函数和抽象函数的连续与间断 29

题型二 分段函数的连续性 30

题型三 由极限定义的函数的连续性 31

题型四 连续函数的零点问题 32

题型五 综合题 33

习题精选与预测 34

第二章 一元函数微分学 37

大纲解读 37

考试内容 37

考试要求 37

大纲知识点精解 37

1 导数与微分 37

考点梳理 37

一、基本概念 37

二、重要性质、公式与结论 39

例题解析 39

题型一 利用导数与微分的定义解题 39

题型二 可微、可导、连续与极限的关系 41

题型三 导数的几何应用 42

2 导数的计算 43

考点梳理 43

重要性质、公式与结论 43

例题解析 45

题型一 利用导数公式与运算法则求导 45

题型二 求分段函数导数或微分 45

题型三 幂指函数的导数或微分 46

题型四 隐函数求导 47

题型五 求n阶导数 47

3 利用导数研究函数的性态 49

考点梳理 49

一、基本概念 49

二、重要定理、性质与公式 50

例题解析 51

题型一 利用导数讨论函数单调性、极值与最值 51

题型二 函数的凹凸性与拐点 53

题型三 求曲线的切线、法线和渐近线 54

题型四 综合题 55

4 微分中值定理、零点问题与不等式证明 57

考点梳理 57

重要性质、公式与结论 57

例题解析 59

题型一 函数零点的存在性与个数问题 59

题型二 证明项中包含ξ，f（ξ），f′（ξ），…的问题 62

题型三 证明项中包含ξ，η，f（ξ），f（η），f′（ξ），f′（η）的问题 65

题型四 不等式证明 66

习题精选与预测 68

第三章 一元函数积分学 73

大纲解读 73

考试内容 73

考试要求 73

大纲知识点精解 73

1 不定积分与定积分的概念与性质 73

考点梳理 73

一、基本概念 73

二、重要性质、公式与结论 74

例题解析 75

2 不定积分与定积分的计算 78

考点梳理 78

重要性质、公式与结论 78

例题解析 80

题型一 有理函数的积分 80

题型二 无理函数的积分 80

题型三 三角函数的积分 81

题型四 乘积的混合式积分 83

题型五 分段函数与绝对值函数的积分 85

题型六 变限积分问题 86

3 反常积分 89

考点梳理 89

一、基本概念 89

二、重要性质、公式与结论 90

例题解析 91

4 定积分的几何应用 93

考点梳理 93

重要性质、公式与结论 93

例题解析 94

5 定积分的证明题 98

例题解析 98

题型一 等式的证明 98

题型二 不等式的证明 99

6 一元函数微积分在经济中的应用 101

考点梳理 101

例题解析 101

习题精选与预测 105

第四章 多元函数微积分学 118

大纲解读 118

考试内容 118

考试要求 118

大纲知识点精解 118

1 多元函数的极限与连续性 118

考点梳理 118

一、基本概念 118

二、重要性质、公式与结论 119

例题解析 119

题型一 二元函数的概念 119

题型二 二元函数的极限 120

2 偏导数与全微分 121

考点梳理 121

一、基本概念 121

二、重要性质、公式与结论 122

例题解析 122

题型一 简单的二元函数偏导数与微分计算 122

题型二 二元函数连续、可偏导、可微的关系 124

3 多元函数求导法则 127

考点梳理 127

重要性质、定理与公式 127

例题解析 128

题型一 求复合函数的偏导数与全微分 128

题型二 求隐函数的偏导数与全微分 131

4 多元函数的极值与最值 136

考点梳理 136

一、基本概念 136

二、重要性质、定理与公式 136

例题解析 138

题型一 求解多元函数的无条件极值 138

题型二 求解多元函数的条件极值 140

题型三 求解多元函数的最值 142

5 二重积分 144

考点梳理 144

一、基本概念 144

二、重要性质、公式与结论 145

例题解析 148

题型一 二重积分的概念和性质 148

题型二 直角坐标和极坐标下二重积分的计算 149

题型三 二次积分交换积分次序 154

题型四 利用对称性计算二重积分 156

习题精选与预测 159

第五章 无穷级数 165

大纲解读 165

考试内容 165

考试要求 165

大纲知识点精解 165

1 常数项级数及其敛散性 165

考点梳理 165

一、基本概念 165

二、重要性质、公式与结论 166

例题解析 169

题型一 级数的概念与敛散性 169

题型二 正向级数的敛散性判定 169

题型三 交错级数的敛散性判定 171

题型四 任意项级数的敛散性判定 173

2 幂级数 173

考点梳理 173

一、基本概念 173

二、重要性质、公式与结论 174

例题解析 176

题型一 幂级数的收敛区间与收敛域 176

题型二 幂级数与常数项级数求和 178

题型三 函数的幂级数展开式 182

习题精选与预测 185

第六章 常微分方程与差分方程 188

大纲解读 188

考试内容 188

考试要求 188

大纲知识点精解 188

1 一阶微分方程 188

考点梳理 188

一、基本概念 188

二、重要定理、性质与公式 189

例题解析 190

题型一 变量可分离的方程与齐次方程的求解 190

题型二 一阶线性方程 191

2 二阶线性常微分方程 193

考点梳理 193

一、基本概念 193

二、重要定理、性质与公式 193

例题解析 195

题型一 二阶线性微分方程解的结构、性质与判定 195

题型二 求解二阶线性微分方程 196

3 微分方程的应用 197

考点梳理 197

重要定理、性质与公式 197

例题解析 197

4 差分方程 202

考点梳理 202

一、基本概念 202

二、重要的性质、公式与结论 203

例题解析 203

习题精选与预测 204

第二部分 线性代数 209

第一章 行列式 209

大纲解读 209

考试内容 209

考试要求 209

大纲知识点精解 209

考点梳理 209

一、基本概念 209

二、重要性质、公式与结论 210

例题解析 212

题型一 行列式的概念及性质 212

题型二 数字型行列式的计算 214

题型三 抽象行列式的计算 218

题型四 有关｜A｜＝0的证明 219

习题精选与预测 220

第二章 矩阵 223

大纲解读 223

考试内容 223

考试要求 223

大纲知识点精解 223

1 矩阵的概念及运算 223

考点梳理 223

一、基本概念 223

二、重要性质、公式与结论 225

2 可逆矩阵与伴随矩阵 226

考点梳理 226

一、基本概念 226

二、重要性质、公式与结论 227

3 矩阵的初等变换 228

考点梳理 228

一、基本概念 228

二、重要性质、公式与结论 228

4 分块矩阵 229

考点梳理 229

一、基本概念 229

二、重要性质、公式与结论 229

例题解析 230

题型一 矩阵的概念及运算 230

题型二 求方阵的幂 231

题型三 矩阵可逆的判定及逆矩阵的计算 233

题型四 伴随矩阵 235

题型五 矩阵的初等变换 237

题型六 分块矩阵 238

题型七 求解矩阵方程 241

习题精选与预测 244

第三章 向量 248

大纲解读 248

考试内容 248

考试要求 248

大纲知识点精解 248

1 向量与向量组的线性相关性 248

考点梳理 248

一、基本概念 248

二、重要定理、性质与公式 249

例题解析 250

题型一 线性相关性的判别与证明 250

题型二 向量与向量组的线性表出 253

2 极大线性无关组与向量组的秩 256

考点梳理 256

一、基本概念 256

二、重要定理、性质与公式 257

例题解析 257

题型一 矩阵的秩 257

题型二 向量组的秩与极大线性无关组 259

题型三 向量组的等价 261

3 内积与施密特正交化 263

考点梳理 263

一、基本概念 263

二、重要定理、性质与公式 264

例题解析 264

习题精选与预测 265

第四章 线性方程组 270

大纲解读 270

考试内容 270

考试要求 270

大纲知识点精解 270

1 齐次线性方程组 270

考点梳理 270

一、基本概念 270

二、重要性质、公式与结论 271

2 非齐次线性方程组 273

考点梳理 273

一、基本概念 273

二、重要性质、公式与结论 273

例题解析 274

题型一 线性方程组解的判定、性质与结构 274

题型二 求解齐次线性方程组 278

题型三 求解非齐次线性方程组 281

题型四 两方程组的公共解与同解问题 290

习题精选与预测 294

第五章 矩阵的特征值和特征向量 298

大纲解读 298

考试内容 298

考试要求 298

大纲知识点精解 298

1 特征值与特征向量 298

考点梳理 298

一、基本概念 298

二、重要性质、公式与结论 299

例题解析 300

题型一 求数字型矩阵的特征值与特征向量 300

题型二 求抽象矩阵的特征值与特征向量 303

题型三 特征值与特征向量的逆问题 305

题型四 有关特征值与特征向量的证明题 307

2 相似矩阵及矩阵的相似对角化 309

考点梳理 309

一、基本概念 309

二、重要性质、公式与结论 309

例题解析 310

题型一 相似矩阵的性质及其判定 310

题型二 方阵的对角化问题 313

3 实对称矩阵及其相似对角化 317

考点梳理 317

一、基本概念 317

二、重要性质、公式与结论 317

例题解析 318

题型一 实对称矩阵的性质 318

题型二 实对称矩阵的对角化 323

习题精选与预测 326

第六章 二次型 330

大纲解读 330

考试内容 330

考试要求 330

大纲知识点精解 330

1 二次型的定义、矩阵表示 330

考点梳理 330

基本概念 330

2 化二次型为标准形和规范形 331

考点梳理 331

一、基本概念 331

二、重要性质、公式与结论 332

3 合同矩阵 333

考点梳理 333

一、基本概念 333

二、重要性质、公式与结论 333

4 正定二次型与正定矩阵 333

考点梳理 333

一、基本概念 333

二、重要性质、公式与结论 333

例题解析 334

题型一 二次型的基本概念 334

题型二 线性变换 336

题型三 化二次型为标准形和规范形 337

题型四 矩阵的合同 342

题型五 正定二次型与正定矩阵的判定与证明 344

习题精选与预测 348

第三部分 概率论与数理统计 353

第一章 随机事件和概率 353

大纲解读 353

考试内容 353

考试要求 353

大纲知识点精解 353

1 随机事件的关系与运算 353

考点梳理 353

一、基本概念 353

二、重要定理、性质与公式 354

例题解析 355

2 随机事件的概率 357

考点梳理 357

一、基本概念 357

二、重要定理、性质与公式 357

例题解析 358

题型一 概率的基本性质 358

题型二 古典概型与几何概型 360

题型三 条件概率 361

题型四 全概率公式与贝叶斯公式 362

3 事件的独立性与独立重复试验 364

考点梳理 364

一、基本概念 364

二、重要定理、性质与公式 365

例题解析 365

题型一 事件的独立性 365

题型二 伯努利概型 367

习题精选与预测 368

第二章 随机变量及其分布 371

大纲解读 371

考试内容 371

考试要求 371

大纲知识点精解 371

1 随机变量及其分布函数 371

考点梳理 371

一、基本概念 371

二、重要定理、性质与公式 372

例题解析 372

2 离散型与连续型随机变量 375

考点梳理 375

一、基本概念 375

二、重要定理、性质与公式 375

例题解析 378

题型一 离散型随机变量及其分布律 378

题型二 连续型随机变量及其概率密度 379

题型三 随机变量的常见分布 381

3 随机变量函数的分布 383

考点梳理 383

例题解析 384

习题精选与预测 388

第三章 多维随机变量及其分布 391

大纲解读 391

考试内容 391

考试要求 391

大纲知识点精解 391

1 二维随机变量及其分布 391

考点梳理 391

一、基本概念 391

二、重要性质、公式与结论 393

例题解析 394

题型一 离散型随机变量的联合分布、边缘分布与条件分布 394

题型二 连续型随机变量的联合分布、边缘分布与条件分布 397

2 二维随机变量的独立性 400

考点梳理 400

一、基本概念 400

二、重要性质、公式与结论 401

例题解析 401

3 二维均匀分布与二维正态分布 404

考点梳理 404

一、基本概念 404

二、重要性质、公式与结论 404

例题解析 405

4 随机变量函数的分布 408

考点梳理 408

一、基本概念 408

二、重要性质、公式与结论 408

例题解析 410

习题精选与预测 420

第四章 随机变量的数字特征 423

大纲解读 423

考试内容 423

考试要求 423

大纲知识点精解 423

1 随机变量的数学期望和方差 423

考点梳理 423

一、基本概念 423

二、重要性质、公式与结论 424

例题解析 425

题型一 随机变量期望与方差的概念与计算 425

题型二 随机变量函数的期望与方差 429

题型三 几种常见分布的期望与方差 433

2 协方差与相关系数 435

考点梳理 435

一、基本概念 435

二、重要性质、公式与结论 436

例题解析 437

题型一 协方差与相关系数的计算 437

题型二 相关性与独立性的判定 440

3 随机变量的矩 443

考点梳理 443

基本概念 443

例题解析 443

习题精选与预测 444

第五章 大数定律与中心极限定理 447

大纲解读 447

考试内容 447

考试要求 447

1 大数定律 447

考点梳理 447

2 中心极限定理 448

考点梳理 448

例题解析 449

题型一 切比雪夫不等式与大数定律 449

题型二 中心极限定理 451

习题精选与预测 454

第六章 数理统计的基本概念 456

大纲解读 456

考试内容 456

考试要求 456

大纲知识点精解 456

1 随机样本 456

考点梳理 456

一、基本概念 456

二、重要性质、公式与结论 457

2 统计量及其分布 457

考点梳理 457

一、基本概念 457

二、重要性质、公式与结论 457

例题解析 461

题型一 统计量及其数字特征 461

题型二 统计量的分布 466

习题精选与预测 469

第七章 参数估计 472

大纲解读 472

考试内容 472

考试要求 472

大纲知识点精解 472

考点梳理 472

一、基本概念 472

二、重要定理、性质与公式 473

例题解析 473

习题精选与预测 476

附录 478

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题 478

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题解析 481

后记 494