代数学 2 近世代数PDF电子书下载

第一章 群论基础 1

1.1集合论预备知识 1

1.1.1集合的定义 1

1.1.2集合的基本运算 2

1.1.3一些常用的集合记号 4

1.1.4映射，合成律和结合律 5

1.1.5等价关系，等价类与分拆 6

1.1.6映射分解和交换图表 8

习题 8

1.2群的基本概念和例子 9

1.2.1群的定义和例子 9

1.2.2子群和群的直积 14

1.2.3 GLn的子群：典型群 15

1.2.4群的同态与同构 18

习题 20

1.3子群与陪集分解 22

1.3.1元素的阶与循环群 22

1.3.2陪集和陪集分解 24

习题 30

1.4正规子群与商群 32

习题 38

第二章 群在集合上的作用 40

2.1对称群 40

2.1.1置换及其表示 40

2.1.2奇置换与偶置换 43

2.1.3交错群 44

习题 47

2.2群在集合上的作用 48

2.2.1轨道与稳定子群 48

2.2.2 G在集合X上的作用与G到群Sx的群同态的关系 51

习题 52

2.3群在自身上的作用 53

2.3.1左乘作用 53

2.3.2共轭作用 54

2.3.3 G在子群H上的共轭作用 55

习题 56

2.4西罗定理及其应用 57

2.4.1西罗定理 57

2.4.2西罗定理的应用 60

习题 61

2.5自由群与群的表现 62

2.5.1自由群 62

2.5.2群的表现 65

习题 67

2.6有限生成阿贝尔群的结构 68

2.6.1有限生成自由阿贝尔群 68

2.6.2有限生成阿贝尔群的结构定理 69

习题 74

第三章 环和域 75

3.1环和域的定义 75

3.1.1环的概念的引入 75

3.1.2定义和例子 76

习题 80

3.2环的同态与同构 82

3.2.1定义与简单例子 82

3.2.2环同态的核与理想 84

3.2.3环同态的更多典型例子 85

习题 87

3.3环的同态基本定理 88

3.3.1理想与商环 88

3.3.2环同态基本定理 89

3.3.3同态基本定理的应用 90

3.3.4中国剩余定理 91

习题 93

3.4整环与域 95

3.4.1素理想与极大理想 95

3.4.2整环的局部化 97

习题 99

第四章 因子分解 101

4.1唯一因子分解环 101

4.1.1因子，素元与不可约元 101

4.1.2唯一因子分解环 102

4.1.3欧几里得环 105

习题 107

4.2高斯整数与二平方和问题 108

习题 110

4.3多项式环与高斯引理 110

4.3.1环上的多项式环 110

4.3.2高斯引理 113

习题 117

第五章 域扩张理论 120

5.1域扩张基本理论 120

5.1.1常见的域的例子 120

5.1.2代数扩张与超越扩张 120

5.1.3代数扩张的性质 122

5.1.4同态与同构的一些性质 124

5.1.5代数闭包与代数封闭域 125

习题 126

5.2尺规作图问题 128

习题 131

5.3代数基本定理 131

习题 132

5.4有限域的理论 133

习题 136

第六章 伽罗瓦理论 138

6.1伽罗瓦理论的主要定理 138

6.1.1伽罗瓦群的定义和例子 138

6.1.2可分多项式与可分扩张 140

6.1.3正规扩张 141

6.1.4伽罗瓦理论基本定理 142

习题 143

6.2 方程的伽罗瓦群 144

6.2.1三次方程的分裂域 144

6.2.2一般情况 145

6.2.3对称多项式 147

习题 149

6.3伽罗瓦扩张的一些例子 150

6.3.1分圆扩张 150

6.3.2库默尔扩张 152

6.3.3有限域的扩张 152

习题 152

6.4方程的根式可解性 153

习题 157

6.5主要定理的证明 158

习题 162

参考文献 163

索引 164