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第1章　极限与连续 1

1.1 函数 1

1.1.1 集合　常量与变量 1

1.1.2 函数概念 2

1.1.3　函数的几种特性 5

1.1.4　反函数 6

1.2　初等函数 8

1.2.1　基本初等函数 8

1.2.2　复合函数　初等函数 10

1.2.3　双曲函数与反双曲函数 11

1.3.1 数列极限的定义 13

1.3　数列的极限 13

1.3.2　数列极限举例 15

1.3.3　收敛数列的性质 16

1.4 函数的极限 17

1.4.1 自变量趋于无穷大时函数的极限 17

1.4.2 自变量趋于有限值时函数的极限 18

1.4.3 函数极限的性质 20

1.5　无穷小与无穷大 21

1.5.1 无穷小 21

1.5.2 无穷大 22

1.6　极限运算法则 23

1.7　极限存在准则 两个重要极限 29

1.8　无穷小的比较 34

1.9.1 函数的连续性 36

1.9 函数的连续性与间断点 36

1.9.2 函数的间断点 38

1.10　连续函数的运算与初等函数的连续性 40

1.10.1 连续函数的和、积及商的连续性 40

1.10.2　反函数与复合函数的连续性 40

1.10.3　初等函数的连续性 41

1.11 闭区间上连续函数的性质 44

1.11.1 最大值与最小值定理 44

1.11.2　介值定理 44

第2章　导数与微分 48

2.1　导数的概念 48

2.1.1 引例 48

2.1.2　导数的定义 49

2.1.3 函数的可导性与连续性之间的关系 51

2.2　基本初等函数的导数公式 52

2.3　函数和、差、积、商的求导法则 55

2.3.1 函数和、差的求导法则 55

2.3.2 函数乘积的求导法则 55

2.3.3　函数商的求导法则 56

2.4　反函数的导数　复合函数的求导法则 58

2.4.1　反函数的导数 58

2.4.2 复合函数的求导法则 59

2.5　初等函数求导问题 62

2.6　高阶导数 63

2.7 隐函数的导数及由参数方程所确定的函数的导数 65

2.7.1 隐函数的导数 65

2.7.2 由参数方程所确定的函数的导数 68

2.8.1　微分的概念 70

2.8　微分的概念 70

2.8.2　微分的几何意义 72

2.8.3　基本初等函数的微分公式与微分运算法则 72

2.9　微分的应用 74

2.9.1　微分在近似计算上的应用 74

2.9.2　微分在误差估计中的应用 75

第3章 中值定理与导数的应用 79

3.1 中值定理 79

3.1.1 罗尔（Rolle）定理 79

3.1.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理 80

3.1.3　柯西（Cauchy）中值定理 81

3.2 洛必达（L'Hospital）法则 82

3.3.1 函数的单调性 86

3.3 函数的单调性与极值的判定 86

3.3.2　函数的极值 87

3.4　函数的最值及其应用 90

3.5 曲线的凹凸性与函数图形的描绘 92

3.5.1 曲线的凹凸性与拐点 92

3.5.2 函数图形的描绘 93

3.6　导数在经济分析中的应用 95

3.6.1 成本函数 收入函数 利润函数 95

3.6.2　边际分析 96

3.6.3　弹性的概念 98

3.7　曲线的曲率 99

3.7.1 弧微分 99

3.7.2 曲线的曲率 100

4.1.1 不定积分的概念 105

4.1　不定积分的概念、性质及基本积分公式 105

第4章　不定积分 105

4.1.2　基本积分公式 106

4.1.3　不定积分的性质 107

4.2　换元积分法 109

4.2.1 第一类换元积分法（凑微分法） 109

4.2.2　第二类换元积分法 112

4.3　分部积分法 114

4.4　积分表的使用 117

第5章　定积分及其应用 121

5.1　定积分的概念 121

5.1.1 定积分的问题举例 121

5.1.2　定积分的概念 123

5.1.4　定积分的性质 124

5.1.3　定积分的几何意义 124

5.2　微积分基本公式 126

5.2.1　积分上限函数 126

5.2.2 牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式 127

5.3　定积分的积分法 129

5.3.1　换元积分法 129

5.3.2　分部积分法 131

5.4　定积分的应用 133

5.4.1 定积分的微分法 133

5.4.2　平面图形的面积 134

5.4.3 平行截面为已知的立体的体积 136

5.4.4　其它应用举例 137

5.5　广义积分 139

5.5.1 无穷区间上的广义积分 139

5.5.2　无界函数的广义积分 140

第6章　常微分方程 143

6.1　微分方程的基本概念 143

6.2　变量分离方程与变量变换 146

6.2.1 变量分离方程 146

6.2.2 可化为变量分离方程的两种类型 148

6.3　一阶线性方程与常数变易法 151

6.3.1 一阶线性微分方程的解法 151

6.3.2　伯努利方程及其解法 155

6.4　二阶常系数线性方程 156

6.4.1 二阶常系数齐次线性方程解的叠加原理 156

6.4.2　二阶常系数齐次线性方程的解法 156

6.5.1 二阶常系数非齐次线性方程解的结构 159

6.5　二阶常系数非齐次线性方程 159

6.5.2　二阶常系数非齐次线性方程的解法 160

第7章 向量代数与空间解析几何 167

7.1　空间直角坐标系与向量的概念 167

7.1.1 空间直角坐标系 167

7.1.2 向量的基本概念及线性运算 168

7.1.3 向量的坐标表示 170

7.2　向量的数量积与向量积 173

7.2.1 向量的数量积 173

7.2.2 向量的向量积 176

7.3　平面及其方程 179

7.4　空间直线及其方程 183

7.5 曲面与空间曲线 187

7.5.1 曲面方程的概念 187

7.5.2　母线平行于坐标轴的柱面 188

7.5.3 旋转曲面 189

7.5.4　二次曲面 190

7.5.5 空间曲线及其在坐标面上的投影 192

第8章 多元函数微分学 198

8.1　多元函数的极限及连续性 198

8.1.1 多元函数的概念 198

8.1.2　二元函数的极限与连续性 201

8.2　偏导数 203

8.2.1　偏导数的定义及其计算方法 203

8.2.2　高阶偏导数 206

8.3　全微分及其应用 208

8.3.1　全微分的概念 208

8.3.2　全微分在近似计算中的应用 210

8.4.1 多元复合函数的求导方法 211

8.4　多元复合函数与隐函数的微分法 211

8.4.2　隐函数求导公式 216

8.5　方向导数与梯度 219

8.5.1 方向导数 219

8.5.2　梯度 221

8.6　偏导数的应用 222

8.6.1 偏导数在几何上的应用 222

8.6.2 多元函数的极值 226

第9章　重积分 234

9.1　二重积分的概念与性质 234

9.1.1　二重积分的概念 234

9.1.2　二重积分的性质 235

9.2　二重积分的计算 236

9.2.1 利用直角坐标计算二重积分 237

9.2.2 利用极坐标计算二重积分 242

9.3　二重积分应用举例 244

9.4　三重积分的概念及其计算 247

9.4.1　三重积分的概念 247

9.4.2　三重积分的计算 247

9.5　三重积分应用举例 252

第10章　无穷级数 257

10.1　常数项级数的概念和性质 257

10.1.1 常数项级数的概念 257

10.1.2　收敛级数的基本性质 258

10.2　正项级数的审敛法 261

10.2.1 比较审敛法 261

10.2.3　根值审敛法 263

10.2.2　比值审敛法 263

10.3　任意项级数 264

10.3.1 绝对收敛与条件收敛 264

10.3.2 交错级数及其审敛法 265

10.4　幂级数 267

10.4.1 函数项级数的概念 267

10.4.2　幂级数及其收敛性 267

10.4.3　幂级数的运算 270

10.5 函数的幂级数展开及应用 272

10.5.1 马克劳林级数 272

10.5.2 函数展开成幂级数 274

10.5.3 函数幂级数展开式的应用 277

10.6　傅里叶级数 279

11.1.1　误差 289

第11章　数值分析初步 289

11.1　误差与方程求解 289

11.1.2 方程求解 291

11.2　拉格朗日插值多项式 295

11.3　最小二乘拟合 300

11.4　数值积分 307

11.5　常微分方程的数值解法 313

第12章　Mathematica软件包 318

12.1　Mathematica快速入门 318

12.2　用Mathematica求极限和求微分 324

12.3　用Mathematica作积分计算 328

12.4　用mathematica解方程和做级数运算 332

12.5　用Mathematica进行向量运算和作图 336

12.6　Mathematica编程基础 342

第13章　数学建模入门 350

13.1　数学模型的基本概念 350

13.1.1　数学模型 350

13.1.2　数学建模流程 350

13.1.3　数学模型的分类方法 352

13.2　初等模型 352

13.3　连续模型 356

13.4　离散模型 360

13.5　随机模型 363

附录Ⅰ 常用平面曲线及其方程 368

附录Ⅱ 积分表 370

附录Ⅲ 习题参考答案与提示 377

主要参考文献 403