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前言 2

第一部分　数理逻辑 2

第1章　命题逻辑 2

本章学习目标 2

1.1　命题和命题联结词 2

1.1.1 命题 2

序 2

1.1.2　命题联结词 3

1.2　命题公式与解释 7

1.2.1　命题公式 7

1.2.2　命题公式的解释 9

1.3.1　真值表 10

1.3　真值表与等价公式 10

1.3.2　命题公式的分类 11

1.3.3　等价公式 12

1.3.4　代入规则和替换规则 15

1.4　对偶定理 19

1.5　范式 20

1.5.1　合取范式和析取范式 20

1.5.2　主析取范式和主合取范式 22

1.6　公式的蕴涵 27

1.6.1　蕴涵的概念 27

1.6.2　蕴涵式的证明方法 28

1.7　其他联结词与最小联结词组 29

1.7.1　其他联结词 29

1.6.3　基本蕴涵式 29

1.7.2　最小联结词组 32

1.8　命题逻辑推理理论 33

1.8.1　命题逻辑推理理论 33

1.8.2　推理规则 35

1.8.3　判断有效结论的常用方法 36

本章小结 39

习题一 40

第2章　谓词逻辑 43

本章学习目标 43

2.1 谓词逻辑命题的符号化 43

2.1.1　个体词与谓词 43

2.1.3 谓词逻辑中命题的符号化 45

2.1.2　量词 45

2.2　谓词逻辑公式与解释 47

2.2.1 谓词逻辑的合式公式 47

2.2.2　谓词的约束和替换 49

2.2.3　谓词逻辑公式的解释 50

2.3　谓词逻辑公式的等价与蕴涵 52

2.3.1　谓词逻辑的等价公式 52

2.3.2　谓词逻辑的蕴涵公式 55

2.3.3　多个量词的使用 56

2.4　前束范式 57

2.5　谓词逻辑的推理理论 59

本章小结 63

习题二 63

3.1.1 集合的基本概念 68

3.1　集合的概念与表示 68

3.1.2　集合的表示 68

第二部分　集合论 68

第3章　集合 68

本章学习目标 68

3.1.3　集合之间的关系 69

3.2　集合的运算 72

3.2.1　集合的交运算 72

3.2.2　集合的并运算 73

3.2.3　集合的补 74

3.2.4　集合的对称差 75

3.3　包含排斥原理 76

本章小结 79

习题三 79

4.1　序偶与笛卡儿积 82

4.1.1 有序n元组 82

第4章　关系 82

本章学习目标 82

4.1.2　笛卡儿积的概念 83

4.1.3　笛卡儿积的性质 83

4.2　二元关系及其表示 85

4.2.1　二元关系的概念 85

4.2.2　二元关系的表示 86

4.3　关系的运算 88

4.3.1 关系的交、并、差、补运算 88

4.3.2　关系的复合运算 89

4.3.3　关系的逆运算 92

4.4　关系的性质 93

4.4.1 自反性和反自反性 93

4.4.2　对称性和反对称性 94

4.4.3　传递性 94

4.4.4　关系性质的判定 95

4.5　关系的闭包 100

4.6　等价关系与集合的划分 105

4.6.1 等价关系 105

4.6.2　等价类 106

4.6.3　集合的划分 106

4.7.1 相容关系 109

4.7　相容关系 109

4.7.2　覆盖 110

4.8　偏序关系 112

4.8.1 偏序关系 112

4.8.2　哈斯图 113

4.8.3　全序关系 114

4.8.4 良序关系 116

本章小结 117

习题四 117

第5章　函数 120

本章学习目标 120

5.1　函数的概念 120

5.2　函数的性质 121

5.3.1　复合函数 124

5.3　复合函数和逆函数 124

5.3.2　逆函数 125

5.4　置换 127

本章小结 128

习题五 128

第6章　集合的基数 130

本章学习目标 130

6.1　基数的概念 130

6.2　可数集和不可数集 132

6.2.1　可数集 132

6.2.2　不可数集 134

6.3　基数的比较 134

习题六 136

本章小结 136

第三部分　图论 140

第7章　图 140

本章学习目标 140

7.1 图的基本概念 140

7.1.1　图论的发展 140

7.1.2　图的基本概念 141

7.2　通路与回路 146

7.3　图的连通性 148

7.3.1　无向图的连通性 148

7.3.2　有向图的连通性 150

7.4　图的矩阵表示 153

7.4.1 图的邻接矩阵 153

7.4.2　图的关联矩阵 155

7.4.3 有向图的可达矩阵 156

7.5　图的应用 158

7.5.1　带权图的最短通路 158

7.5.2　带权图的关键路径 161

本章小结 162

习题七 163

第8章　欧拉图与哈密尔顿图 166

本章学习目标 166

8.1　欧拉图 166

8.1.1　欧拉图的定义 166

8.1.2　欧拉图的判定 167

8.1.3　求欧拉回路的算法 168

8.1.4　欧拉图的应用 169

8.2　哈密尔顿图 170

8.2.1　哈密尔顿图 170

8.2.2　哈密尔顿图的判定 170

本章小结 171

习题八 172

第9章　特殊图 173

本章学习目标 173

9.1　树 173

9.1.1　无向树 173

9.1.2　生成树与最小生成树 175

9.1.3　有向树与根树 177

9.2　二部图 180

9.3.1 平面图的定义 182

9.3 平面图 182

9.3.2　欧拉公式 183

9.3.3　库拉托夫斯基定理 185

9.3.4 平面图的对偶图 186

本章小结 188

习题九 188

第四部分　代数系统 192

第10章　代数结构 192

本章学习目标 192

10.1　二元运算及其性质 192

10.1.1 二元运算 192

10.1.2　二元运算的性质 194

10.2　代数系统 196

10.3.1　半群 198

10.3　群的定义 198

10.3.2　群 199

10.3.3　群的性质 200

10.4　子群 202

10.4.1　子群 202

10.4.2　子群的判定 203

10.5　阿贝尔群和循环群 204

10.5.1 阿贝尔群 204

10.5.2　循环群 205

10.6　置换群与伯恩赛德定理 206

10.6.1　置换群 206

10.6.2　伯恩赛德定（Burnside） 209

10.7.1 陪集 211

10.7　陪集与拉格朗日定理 211

10.7.2　正规子群和商群 213

10.7.3　拉格朗日定理 214

10.8　群的同态与同构 215

本章小结 217

习题十 218

第11章　格与布尔代数 221

本章学习目标 221

11.1　格的定义和性质 221

11.1.1　格的定义 221

11.1.2　格的对偶原理 222

11.1.3　格的性质 222

11.1.4　子格和格的同态 225

11.2　分配格和有补格 227

11.2.1　模格 227

11.2.2　分配格 227

11.2.3　有界格 229

11.2.4　有补格 229

11.3　布尔代数 230

11.3.1 布尔代数的定义及性质 230

11.3.2　布尔代数的同构与同态 231

11.3.3　布尔代数的表示理论 234

本章小结 235

习题十一 236

参考文献 238