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第十章 微分方程 1

第一节 微分方程的基本概念 1

一、引例 1

二、微分方程的基本概念 3

习题10-1 6

第二节 可分离变量的一阶微分方程 7

一、可分离变量的微分方程 7

二、一阶齐次方程 11

习题10-2 13

第三节 一阶线性微分方程 15

习题10-3 19

第四节 可降阶的高阶微分方程 20

一、y(n)=f(x)型的微分方程 20

二、y″=f(x,y′)型的微分方程 21

三、y″=f(y,y′)型的微分方程 23

习题10-4 24

第五节 二阶线性齐次微分方程 25

一、二阶线性齐次微分方程解的结构 25

二、二阶常系数线性齐次微分方程 27

习题10-5 34

第六节 二阶线性非齐次微分方程 36

一、二阶线性非齐次微分方程解的结构 36

二、二阶常系数线性非齐次微分方程 37

习题10-6 46

第十一章 向量代数和空间解析几何 48

第一节 行列式 48

一、二阶行列式 48

二、三阶行列式 50

三、行列式的性质 51

习题11-1 54

第二节 向量 55

一、向量的概念 55

二、向量的加、减法 56

三、数与向量的乘积 58

四、向量在轴上的投影 60

习题11-2 61

第三节 向量的坐标 62

一、空间直角坐标系 63

二、向量的坐标表示 64

三、向量的模与方向余弦 68

习题11-3 71

第四节 两向量的数量积与向量积 72

一、两向量的数量积 72

二、两向量的向量积 75

习题11-4 81

第五节 曲面及其方程 82

一、曲面方程的概念 82

二、球面 83

三、旋转曲面 84

四、柱面 86

习题11-5 87

第六节 空间平面及其方程 88

一、平面的点法式方程 88

二、平面的一般式方程 91

习题11-6 94

第七节 空间直线及其方程 95

一、空间直线的一般式方程 95

二、直线的标准式方程 96

习题11-7 101

第八节 空间曲线及其方程 103

一、空间曲线的一般式方程 103

二、空间曲线的参数方程 104

三、空间曲线在坐标平面上的投影 105

习题11-8 107

第九节 二次曲面 108

一、椭球面 108

二、单叶双曲面 109

三、双叶双曲面 110

四、椭圆抛物面 111

习题11-9 111

一、二元函数的定义 112

第一节 多元函数的基本概念 112

第十二章 多元函数微分法 112

二、二元函数的定义域 114

三、二元函数的图形 116

习题12-1 117

第二节 二元函数的极限与连续性 118

一、二元函数的极限 118

二、二元函数的连续性 121

习题12-2 123

第三节 偏导数 124

一、偏导数的定义及其计算 124

三、高阶偏导数 129

二、二元函数偏导数的几何意义 129

习题12-3 132

第四节 全微分 133

习题12-4 137

第五节 多元复合函数的求导法则 138

习题12-5 146

第六节 隐函数的求导公式 147

一、一元隐函数的求导公式 147

二、二元隐函数的求导公式 148

习题12-6 151

第七节 偏导数的几何应用 152

一、空间曲线的切线与法平面 152

二、曲面的切平面与法线 155

习题12-7 159

第八节 多元函数的极值 160

一、二元函数的极值 160

二、二元函数的最值 163

三、条件极值 拉格朗日乘数法 165

习题12-8 167

一、二重积分的概念 169

第一节 二重积分 169

第十三章 重积分 169

二、二重积分的性质 173

习题13-1 176

第二节 直角坐标下二重积分的计算 177

习题13-2 186

第三节 利用极坐标计算二重积分 187

习题13-3 193

第四节 二重积分的应用 194

一、曲面的面积 194

二、柱体的体积 197

三、平面薄片的重心 199

四、平面薄片的转动惯量 200

习题13-4 201

第五节 三重积分及其应用 202

一、三重积分的概念 202

二、直角坐标下计算三重积分的切条法 203

三、直角坐标下计算三重积分的截面法 207

四、柱面坐标下三重积分的计算 210

五、球面坐标下三重积分的计算 212

习题13-5 214

一、对弧长曲线积分的概念 216

第十四章 平面曲线积分 216

第一节 对弧长的曲线积分 216

二、对弧长曲线积分的计算法 220

习题14-1 223

第二节 对坐标的曲线积分 224

一、对坐标曲线积分的概念 224

二、对坐标曲线积分的计算法 229

三、两类曲线积分的关系 232

习题14-2 233

第三节 格林公式及其应用 234

一、格林公式 235

二、平面曲线积分与路径无关的条件 239

习题14-3 244

第十五章 无穷级数 247

第一节 常数项级数的概念与性质 247

一、级数的基本概念 247

二、级数的基本性质 251

三、级数收敛的必要条件 253

习题15-1 254

第二节 常数项级数的审敛法 255

一、正项级数及其审敛法 256

二、交错级数及其审敛法 264

三、任意项级数审敛法 267

习题15-2 270

第三节 幂级数 271

一、函数项级数的概念 271

二、幂级数及其收敛性 273

三、幂级数的运算 277

习题15-3 282

第四节 函数的幂级数展开式 282

一、泰勒中值公式 283

二、泰勒级数 284

三、把函数展开成幂级数 287

习题15-4 292

第五节 傅立叶级数 293

一、三角级数和三角函数系的正交性 293

二、以2π为周期的函数的傅立叶级数 295

三、将定义在［-π,π］上的函数展开为傅立叶级数 304

四、将定义在［0,π］上的函数展开为傅立叶级数 305

五、以2l为周期的函数的傅立叶级数 307

习题15-5 311

附录 习题参考答案 313