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第八章 向量代数与空间解析几何 1

第一节 向量及其线性运算 1

一、向量的概念 1

二、向量的线性运算 2

三、空间直角坐标系 6

四、利用坐标作向量的线性运算 8

五、向量的模、方向角、投影 9

习题8-1 13

第二节 数量积 向量积 混合积 14

一、两向量的数量积 14

二、两向量的向量积 17

三、向量的混合积 20

习题8-2 23

第三节 平面及其方程 23

一、曲面方程与空间曲线方程的概念 23

二、平面的点法式方程 24

三、平面的一般方程 26

四、两平面的夹角 27

习题8-3 29

第四节 空间直线及其方程 30

一、空间直线的一般方程 30

二、空间直线的对称式方程与参数方程 30

三、两直线的夹角 32

四、直线与平面的夹角 33

五、杂例 33

习题8-4 36

第五节 曲面及其方程 37

一、曲面研究的基本问题 37

二、旋转曲面 38

三、柱面 40

四、二次曲面 41

习题8-5 44

第六节 空间曲线及其方程 45

一、空间曲线的一般方程 45

二、空间曲线的参数方程 46

三、空间曲线在坐标面上的投影 49

习题8-6 51

总习题八 51

第九章 多元函数微分法及其应用 54

第一节 多元函数的基本概念 54

一、平面点集 n维空间 54

二、多元函数的概念 57

三、多元函数的极限 60

四、多元函数的连续性 62

习题9-1 64

第二节 偏导数 65

一、偏导数的定义及其计算法 65

二、高阶偏导数 69

习题9-2 71

第三节 全微分 72

一、全微分的定义 72

二、全微分在近似计算中的应用 75

习题9-3 77

第四节 多元复合函数的求导法则 78

习题9-4 84

第五节 隐函数的求导公式 86

一、一个方程的情形 86

二、方程组的情形 88

习题9-5 91

第六节 多元函数微分学的几何应用 92

一、一元向量值函数及其导数 92

二、空间曲线的切线与法平面 96

三、曲面的切平面与法线 100

习题9-6 102

第七节 方向导数与梯度 103

一、方向导数 103

二、梯度 106

习题9-7 111

第八节 多元函数的极值及其求法 111

一、多元函数的极值及最大值与最小值 111

二、条件极值拉格朗日乘数法 116

习题9-8 121

第九节 二元函数的泰勒公式 122

一、二元函数的泰勒公式 122

二、极值充分条件的证明 125

习题9-9 127

第十节 最小二乘法 127

习题9-10 132

总习题九 132

第十章 重积分 135

第一节 二重积分的概念与性质 135

一、二重积分的概念 135

二、二重积分的性质 138

习题10-1 139

第二节 二重积分的计算法 140

一、利用直角坐标计算二重积分 141

二、利用极坐标计算二重积分 147

三、二重积分的换元法 152

习题10-2 156

第三节 三重积分 160

一、三重积分的概念 160

二、三重积分的计算 161

习题10-3 166

第四节 重积分的应用 168

一、曲面的面积 168

二、质心 172

三、转动惯量 174

四、引力 176

习题10-4 177

第五节 含参变量的积分 179

习题10-5 184

总习题十 185

第十一章 曲线积分与曲面积分 188

第一节 对弧长的曲线积分 188

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 188

二、对弧长的曲线积分的计算法 190

习题11-1 193

第二节 对坐标的曲线积分 194

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 194

二、对坐标的曲线积分的计算法 197

三、两类曲线积分之间的联系 202

习题11-2 203

第三节 格林公式及其应用 204

一、格林公式 204

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 208

三、二元函数的全微分求积 211

四、曲线积分的基本定理 215

习题11-3 216

第四节 对面积的曲面积分 218

一、对面积的曲面积分的概念与性质 218

二、对面积的曲面积分的计算法 219

习题11-4 222

第五节 对坐标的曲面积分 223

一、对坐标的曲面积分的概念与性质 223

二、对坐标的曲面积分的计算法 227

三、两类曲面积分之间的联系 229

习题11-5 231

第六节 高斯公式 通量与散度 232

一、高斯公式 232

二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 236

三、通量与散度 237

习题11-6 239

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 240

一、斯托克斯公式 240

二、空间曲线积分与路径无关的条件 244

三、环流量与旋度 246

习题11-7 248

总习题十一 249

第十二章 无穷级数 251

第一节 常数项级数的概念和性质 251

一、常数项级数的概念 251

二、收敛级数的基本性质 254

三、柯西审敛原理 257

习题12-1 258

第二节 常数项级数的审敛法 259

一、正项级数及其审敛法 259

二、交错级数及其审敛法 265

三、绝对收敛与条件收敛 266

四、绝对收敛级数的性质 268

习题12-2 271

第三节 幂级数 272

一、函数项级数的概念 272

二、幂级数及其收敛性 273

三、幂级数的运算 278

习题12-3 281

第四节 函数展开成幂级数 282

习题12-4 289

第五节 函数的幂级数展开式的应用 290

一、近似计算 290

二、微分方程的幂级数解法 294

三、欧拉公式 297

习题12-5 298

第六节 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质 299

一、函数项级数的一致收敛性 299

二、一致收敛级数的基本性质 303

习题12-6 307

第七节 傅里叶级数 307

一、三角级数三角函数系的正交性 308

二、函数展开成傅里叶级数 310

三、正弦级数和余弦级数 315

习题12-7 320

第八节 一般周期函数的傅里叶级数 321

一、周期为2l的周期函数的傅里叶级数 321

二、傅里叶级数的复数形式 325

习题12-8 327

总习题十二 327

习题答案与提示 330