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第1章 函数、极限与连续 1

1.1函数 1

1.1.1集合、区间与邻域 1

1.1.2函数概念 3

1.1.3初等函数 14

1.1.4建立函数关系举例 14

习题1.1 16

1.2数列的极限 19

1.2.1数列极限的定义 19

1.2.2收敛数列的性质 22

1.2.3数列极限的存在准则 23

1.2.4数列极限的四则运算法则 24

习题1.2 25

1.3函数的极限 30

1.3.1函数极限的定义 30

1.3.2函数极限的性质 33

习题1.3 35

1.4无穷小与无穷大 36

1.4.1无穷小 36

1.4.2无穷大 37

习题1.4 38

1.5极限运算法则 38

1.5.1极限的四则运算法则 38

1.5.2复合函数的极限 41

习题1.5 41

1.6两个重要极限 42

1.6.1函数极限的存在准则（夹逼准则） 42

1.6.2两个重要极限 42

习题1.6 47

1.7无穷小的比较 47

习题1.7 49

1.8函数的连续性 50

1.8.1连续函数的概念 50

1.8.2间断点及其分类 51

1.8.3连续函数的性质和运算 53

1.8.4闭区间上连续函数的性质 54

习题1.8 56

本章小结 57

总习题1 58

第2章 导数与微分 61

2.1导数概念 61

2.1.1问题的引入 61

2.1.2导数的定义 62

2.1.3导数的几何意义 65

2.1.4求导举例 65

习题2.1 68

2.2求导法则 68

2.2.1导数的四则运算法则 69

2.2.2反函数的导数 70

2.2.3复合函数的导数 71

2.2.4初等函数的导数 72

习题2.2 73

2.3高阶导数 74

2.3.1高阶导数的定义及表示 74

2.3.2高阶导数的计算 75

2.3.3高阶导数的求导法则 76

习题2.3 77

2.4隐函数及参数函数的导数 77

2.4.1隐函数的导数 77

2.4.2对数求导法 79

2.4.3参数式函数的导数 80

2.4.4相关变化率 82

习题2.4 82

2.5函数的微分及其应用 83

2.5.1微分的概念 83

2.5.2微分的几何意义 85

2.5.3微分公式与微分运算法则 85

2.5.4微分在近似计算中的应用 87

2.5.5微分在误差估计中的应用 88

习题2.5 89

2.6微分中值定理 90

2.6.1费马（Fermat）定理 90

2.6.2罗尔（Rolle）定理 91

2.6.3拉格朗日（Lagrange）中值定理 92

2.6.4柯西（Cauchy）中值定理 95

2.6.5泰勒（Taylor）公式 96

习题2.6 99

2.7洛必达法则 99

2.7.1洛必达法则 100

2.7.2其他类型的未定式 102

习题2.7 103

2.8导数的应用 104

2.8.1函数单调性判定法 104

2.8.2曲线的凹凸性及其判别法 105

2.8.3函数的极值及其求法 107

2.8.4函数的最值及其求法 110

2.8.5曲线的渐近线及其图形的描绘 112

2.8.6函数图形的描绘 113

习题2.8 115

2.9曲率 115

2.9.1弧微分 116

2.9.2曲率及其计算公式 117

2.9.3曲率圆与曲率半径 119

习题2.9 120

本章小结 120

总习题2 122

第3章 不定积分 124

3.1不定积分的概念和运算法则 124

3.1.1问题的引入 124

3.1.2原函数 124

3.1.3不定积分 125

3.1.4不定积分的运算法则 126

3.1.5不定积分的基本公式 127

习题3.1 128

3.2换元积分法 129

3.2.1第一换元积分法（“凑”微分法） 129

3.2.2第二换元积分法（变量代换法） 134

习题3.2 138

3.3分部积分法 138

习题3.3 141

3.4有理函数的积分 141

3.4.1有理函数 141

3.4.2有理函数的积分 142

习题3.4 146

3.5积分表的使用 146

3.5.1直接查表 146

3.5.2间接查表 146

本章小结 147

总习题3 147

第4章 定积分 149

4.1定积分的概念 149

4.1.1引入定积分概念的实例 149

4.1.2定积分定义 150

4.1.3可积函数类 151

习题4.1 152

4.2定积分的性质和基本定理 152

4.2.1定积分的基本性质 152

4.2.2微积分学基本定理 154

4.2.3变上限的定积分 154

4.2.4牛顿-莱布尼茨公式 156

习题4.2 158

4.3定积分的计算方法 159

4.3.1定积分换元法 159

4.3.2定积分分部积分法 162

习题4.3 164

4.4广义积分 165

4.4.1无穷区间的广义积分 165

4.4.2无界函数的广义积分 166

习题4.4 169

4.5定积分的应用 169

4.5.1微元法 169

4.5.2平面图形的面积 171

4.5.3立体的体积 174

4.5.4平面曲线的弧长 177

4.5.5定积分在实际中的应用 178

习题4.5 181

本章小结 184

总习题4 184

第5章 常微分方程 188

5.1常微分方程的基本概念 188

5.1.1问题的引入——马尔萨斯（Malthus）人口模型 188

5.1.2一些基本概念 189

习题5.1 190

5.2可分离变量的微分方程 191

5.2.1可分离变量的微分方程 191

5.2.2齐次方程 192

习题5.2 193

5.3一阶线性微分方程 194

5.3.1一阶线性微分方程 194

5.3.2伯努利（Bernoulli）方程 196

习题5.3 197

5.4可降阶的微分方程 198

5.4.1y（n） = f（x）型的微分方程 198

5.4.2y"=f（x，y’）型的微分方程（不显含y的二阶微分方程） 198

5.4.3y"=f（y，y’）型的微分方程（不显含x的二阶微分方程） 200

习题5.4 201

5.5二阶线性微分方程解的结构 201

习题5.5 203

5.6二阶常系数线性微分方程的解法 203

5.6.1二阶常系数线性齐次微分方程的解法 203

5.6.2二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 206

习题5.6 212

本章小结 212

总习题5 213

部分习题参考答案 216

参考文献 231

附录A MATLAB实验（上） 232

A1MATLAB简介 232

A1.1 MATLAB文件菜单简介 233

A1.2 MATLAB中的常用运算符和函数 233

A1.3 M文件与M函数 235

A2曲线绘图的MATLAB命令 236

A3求极限的MATLAB命令 239

A4求一元函数导数的MATLAB命令 240

A4.1 MATLAB中主要用diff命令求函数的导数 240

A4.2 MATLAB中主要用roots， fzero， fminbnd命令解决导数的应用 240

A5求积分的MATLAB命令 243

A6微分方程求解的MATLAB命令 244

附录B不定积分表 245

附录C希腊字母表 253