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第1章 函数与极限 1

1.1 函数 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 函数 4

习题1.1 17

1.2 数列的极限 19

1.2.1 引例 19

1.2.2 数列极限的概念 19

1.2.3 收敛数列的性质 22

习题1.2 24

1.3 函数的极限 25

1.3.1 自变量趋于无穷大时函数的极限 25

1.3.2 自变量趋于有限值时函数的极限 27

1.3.3 函数极限的性质 30

习题1.3 30

1.4 无穷小与无穷大 31

1.4.1 无穷小 31

1.4.2 无穷大 33

1.4.3 无穷小与无穷大的关系 34

习题1.4 34

1.5 极限的运算法则 35

1.5.1 极限的四则运算法则 35

1.5.2 复合函数极限的运算法则 39

习题1.5 40

1.6 极限存在准则两个重要极限 40

1.6.1 夹逼准则 40

1.6.2 单调有界收敛准则 42

1.6.3 连续复利 44

习题1.6 46

1.7 无穷小的比较 46

习题1.7 49

1.8 函数的连续性与间断点 50

1.8.1 函数的连续性 50

1.8.2 函数的间断点 51

1.8.3 连续函数的运算法则 54

1.8.4 初等函数的连续性 55

习题1.8 56

1.9 闭区间上连续函数的性质 57

1.9.1 最大值与最小值定理与有界性定理 57

1.9.2 零点定理与介值定理 59

习题1.9 60

复习题一 60

数学家简介——刘徽 63

第2章 导数与微分 65

2.1 导数的概念 65

2.1.1 引例 65

2.1.2 导数的概念 66

2.1.3 导数的几何意义 69

2.1.4 可导与连续的关系 70

习题2.1 71

2.2 导数的运算 72

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 72

2.2.2 复合函数的导数 74

2.2.3 反函数的求导法则 75

2.2.4 初等函数的导数 76

习题2.2 77

2.3 高阶导数 77

习题2.3 81

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 81

2.4.1 隐函数的导数 81

2.4.2 对数求导法 83

2.4.3 由参数方程所确定的函数的导数 84

习题2.4 84

2.5 函数的微分 85

2.5.1 微分的概念 85

2.5.2 微分的几何意义 87

2.5.3 微分的基本公式与微分法则 87

2.5.4 微分在近似计算中的应用 90

习题2.5 91

2.6 边际与弹性 92

2.6.1 边际分析 92

2.6.2 弹性分析 95

习题2.6 97

复习题二 98

数学家简介——牛顿 99

第3章 中值定理与导数的应用 101

3.1 微分中值定理 101

3.1.1 罗尔（Rolle）定理 101

3.1.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理 103

习题3.1 104

3.2 洛必达法则 105

3.2.1 0/0型未定式 105

3.2.2 ∞/∞型未定式 106

习题3.2 108

3.3 函数的单调性与极值 108

3.3.1 函数的单调性 109

3.3.2 函数的极值 111

习题3.3 114

3.4 函数的凹凸性与拐点 函数图形的描绘 114

3.4.1 函数的凹凸性 114

3.4.2 函数图形的描绘 116

习题3.4 118

3.5 函数的最大值与最小值及其在经济上的应用 119

3.5.1 函数的最大值与最小值 119

3.5.2 经济应用问题举例 119

习题3.5 121

复习题三 122

数学家简介——布鲁克·泰勒 123

第4章 不定积分 125

4.1 不定积分的概念与性质 125

4.1.1 原函数与不定积分概念 125

4.1.2 不定积分的几何意义 127

4.1.3 不定积分的性质 128

4.1.4 基本积分公式 128

习题4.1 130

4.2 换元积分法 131

4.2.1 第一类换元积分法 131

4.2.2 第二类换元积分法 136

习题4.2 142

4.3 分部积分法 143

习题4.3 146

复习题四 147

数学家简介——柯西 148

第5章 定积分及其应用 151

5.1 定积分的概念与性质 151

5.1.1 引例 151

5.1.2 定积分的定义 153

5.1.3 定积分的几何意义 155

5.1.4 定积分的性质 156

习题5.1 158

5.2 微积分基本公式 159

5.2.1 积分上限函数及其导数 159

5.2.2 牛顿－莱布尼茨公式 161

习题5.2 163

5.3 定积分的换元法和分部积分法 164

5.3.1 定积分的换元法 164

5.3.2 定积分的分部积分法 168

习题5.3 169

5.4 反常积分 170

5.4.1 无穷限的反常积分 171

5.4.2 无界函数的反常积分 172

5.4.3 Г－函数 174

习题5.4 176

5.5 定积分的元素法及其在几何学上的应用 177

5.5.1 定积分的元素法 177

5.5.2 定积分在几何学上的应用——平面图形的面积 178

5.5.3 定积分在几何学上的应用——体积 181

习题5.5 184

5.6 定积分的经济应用 185

5.6.1 由边际函数求原函数 185

5.6.2 己知贴现率求现金流量的贴现值 186

习题5.6 188

复习题五 188

数学家简介——莱布尼茨 191

第6章 空间解析几何 193

6.1 空间直角坐标系 193

6.1.1 空间直角坐标系 193

6.1.2 空间两点之间的距离 195

习题6.1 195

6.2 曲面及其方程 196

6.2.1 曲面方程的概念 196

6.2.2 旋转曲面 196

6.2.3 柱面 200

6.2.4 二次曲面 201

习题6.2 202

6.3 平面及其方程 202

6.3.1 平面的一般式方程 202

6.3.2 平面的截距式方程 202

习题6.3 203

复习题六 203

数学家简介——约翰·伯努利 204

第7章 多元函数微分学 206

7.1 多元函数的基本概念 206

7.1.1 平面点集 206

7.1.2 二元函数的概念 208

7.1.3 二元函数的极限 208

7.1.4 二元函数的连续性 209

习题7.1 210

7.2 偏导数 210

7.2.1 偏导数的定义及其计算方法 210

7.2.2 偏导数的几何意义 212

7.2.3 高阶偏导数 213

习题7.2 214

7.3 全微分 214

7.3.1 全微分 214

7.3.2 全微分在近似计算中的应用 216

习题7.3 216

7.4 多元复合函数的求导法则 217

7.4.1 中间变量均为一元函数 217

7.4.2 中间变量均为多元函数 218

7.4.3 中间变量既有一元函数也有多元函数 219

7.4.4 全微分形式不变性 220

习题7.4 221

7.5 隐函数求导法 221

习题7.5 223

7.6 多元函数的极值及其应用 223

7.6.1 二元函数的极值 223

7.6.2 二元函数的最大值与最小值 226

7.6.3 条件极值 拉格朗日乘数法 227

习题7.6 230

复习题七 231

数学家简介——笛卡尔 232

第8章 二重积分 234

8.1 二重积分的概念与性质 234

8.1.1 二重积分的概念 234

8.1.2 二重积分的性质 237

习题8.1 238

8.2 二重积分的计算 239

8.2.1 利用直角坐标系计算二重积分 239

8.2.2 利用极坐标系计算二重积分 248

习题8.2 256

复习题八 256

数学家简介——罗尔 257

第9章 微分方程与差分方程 259

9.1 微分方程的基本概念 259

9.1.1 引例 259

9.1.2 微分方程的概念 260

习题9.1 262

9.2 一阶微分方程 262

9.2.1 可分离变量的微分方程 263

9.2.2 齐次方程 264

9.2.3 一阶线性微分方程 266

习题9.2 269

9.3 可降阶的二阶微分方程 270

9.3.1 y″＝f（x）型的微分方程 270

9.3.2 y″＝f（x，y′）型的微分方程 271

9.3.3 y″＝f（y，y′）型的微分方程 273

习题9.3 274

9.4 二阶常系数线性微分方程 274

9.4.1 二阶常系数齐次线性微分方程 274

9.4.2 二阶常系数非齐次线性微分方程 278

习题9.4 282

9.5 差分方程 283

9.5.1 差分的概念 284

9.5.2 差分方程的概念 285

9.5.3 一阶常系数线性差分方程 286

习题9.5 289

9.6 微分方程和差分方程的简单经济应用 290

习题9.6 294

复习题九 295

数学家简介——格林 296

第10章 无穷级数 298

10.1 常数项级数的概念和性质 298

10.1.1 常数项级数的概念 298

10.1.2 无穷级数的基本性质 303

习题10.1 307

10.2 正项级数及其审敛法 308

习题10.2 316

10.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 317

10.3.1 交错级数及其审敛法 317

10.3.2 绝对收敛与条件收敛 319

习题10.3 322

10.4 幂级数 323

10.4.1 函数项级数的概念 323

10.4.2 幂级数及其收敛域 323

10.4.3 幂级数的运算及其性质 328

习题10.4 332

10.5 函数展开成幂级数 333

10.5.1 泰勒级数与麦克劳林级数 333

10.5.2 直接展开与间接展开 335

习题10.5 339

复习题十 340

数学家简介——阿贝尔 341

附录Ⅰ 常见三角函数公式 344

附录Ⅱ 二阶和三阶行列式简介 345

附录Ⅲ 几种常见的曲线 348

附录Ⅳ 积分表 352

习题答案 362

参考文献 390