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第一章 函数与极限 1

第一节 映射与函数 1

一、映射 1

二、函数 3

习题1-1 16

第二节 数列的极限 18

一、数列极限的定义 18

二、收敛数列的性质 23

习题1-2 26

第三节 函数的极限 27

一、函数极限的定义 27

二、函数极限的性质 32

习题1-3 33

第四节 无穷小与无穷大 34

一、无穷小 34

二、无穷大 35

习题1-4 37

第五节 极限运算法则 38

习题1-5 45

第六节 极限存在准则两个重要极限 45

习题1-6 52

第七节 无穷小的比较 52

习题1-7 55

第八节 函数的连续性与间断点 56

一、函数的连续性 56

二、函数的间断点 58

习题1-8 61

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 62

一、连续函数的和、差、积、商的连续性 62

二、反函数与复合函数的连续性 62

三、初等函数的连续性 64

习题1-9 65

第十节 闭区间上连续函数的性质 66

一、有界性与最大值最小值定理 67

二、零点定理与介值定理 68

三、一致连续性 69

习题1-10 70

总习题一 70

第二章 导数与微分 73

第一节 导数概念 73

一、引例 73

二、导数的定义 75

三、导数的几何意义 80

四、函数可导性与连续性的关系 82

习题2-1 83

第二节 函数的求导法则 84

一、函数的和、差、积、商的求导法则 85

二、反函数的求导法则 87

三、复合函数的求导法则 89

四、基本求导法则与导数公式 92

习题2-2 94

第三节 高阶导数 96

习题2-3 100

第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率 101

一、隐函数的导数 101

二、由参数方程所确定的函数的导数 104

三、相关变化率 108

习题2-4 108

第五节 函数的微分 110

一、微分的定义 110

二、微分的几何意义 113

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 113

四、微分在近似计算中的应用 116

习题2-5 120

总习题二 122

第三章 微分中值定理与导数的应用 125

第一节 微分中值定理 125

一、罗尔定理 125

二、拉格朗日中值定理 126

三、柯西中值定理 129

习题3-1 132

第二节 洛必达法则 132

习题3-2 137

第三节 泰勒公式 137

习题3-3 143

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 144

一、函数单调性的判定法 144

二、曲线的凹凸性与拐点 147

习题3-4 150

第五节 函数的极值与最大值最小值 152

一、函数的极值及其求法 152

二、最大值最小值问题 156

习题3-5 161

第六节 函数图形的描绘 163

习题3-6 167

第七节 曲率 168

一、弧微分 168

二、曲率及其计算公式 169

三、曲率圆与曲率半径 173

四、曲率中心的计算公式渐屈线与渐伸线 174

习题3-7 176

第八节 方程的近似解 177

一、二分法 177

二、切线法 178

三、割线法 180

习题3-8 181

总习题三 181

第四章 不定积分 184

第一节 不定积分的概念与性质 184

一、原函数与不定积分的概念 184

二、基本积分表 188

三、不定积分的性质 189

习题4-1 192

第二节 换元积分法 193

一、第一类换元法 194

二、第二类换元法 200

习题4-2 207

第三节 分部积分法 208

习题4-3 212

第四节 有理函数的积分 213

一、有理函数的积分 213

二、可化为有理函数的积分举例 216

习题4-4 218

第五节 积分表的使用 219

习题4-5 221

总习题四 222

第五章 定积分 224

第一节 定积分的概念与性质 224

一、定积分问题举例 224

二、定积分的定义 226

三、定积分的近似计算 229

四、定积分的性质 232

习题5-1 236

第二节 微积分基本公式 237

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 237

二、积分上限的函数及其导数 238

三、牛顿-莱布尼茨公式 240

习题5-2 244

第三节 定积分的换元法和分部积分法 246

一、定积分的换元法 246

二、定积分的分部积分法 252

习题5-3 254

第四节 反常积分 256

一、无穷限的反常积分 256

二、无界函数的反常积分 259

习题5-4 262

第五节 反常积分的审敛法Г函数 262

一、无穷限反常积分的审敛法 263

二、无界函数的反常积分的审敛法（266）三、Г函数 268

习题5-5 270

总习题五 270

第六章 定积分的应用 274

第一节 定积分的元素法 274

第二节 定积分在几何学上的应用 276

一、平面图形的面积 276

二、体积 280

三、平面曲线的弧长 284

习题6-2 286

第三节 定积分在物理学上的应用 289

一、变力沿直线所作的功 289

二、水压力 291

三、引力 292

习题6-3 293

总习题六 294

第七章 微分方程 297

第一节 微分方程的基本概念 297

习题7-1 301

第二节 可分离变量的微分方程 302

习题7-2 308

第三节 齐次方程 308

一、齐次方程 308

二、可化为齐次的方程 312

习题7-3 314

第四节 一阶线性微分方程 314

一、线性方程 314

二、伯努利方程 319

习题7-4 320

第五节 可降阶的高阶微分方程 321

一、y（n） =f（x）型的微分方程 321

二、y″f（x，y′）型的微分方程 323

三、y″=f（y，y′）型的微分方程 326

习题7-5 328

第六节 高阶线性微分方程 329

一、二阶线性微分方程举例 329

二、线性微分方程的解的结构 331

三、常数变易法 334

习题7-6 337

第七节 常系数齐次线性微分方程 338

习题7-7 346

第八节 常系数非齐次线性微分方程 347

一、f（x）=eλxPm（x）型 348

二、f（x） =eλx[Pl（x）cosωx+Qn （x） sin ωx]型 350

习题7-8 354

第九节 欧拉方程 355

习题7-9 356

第十节 常系数线性微分方程组解法举例 357

习题7-10 359

总习题七 360

附录Ⅰ 二阶和三阶行列式简介 363

附录Ⅱ 基本初等函数的图形 368

附录Ⅲ 几种常用的曲线 371

附录Ⅳ 积分表 374

习题答案与提示 385