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第一章 函数与极限 1

1 函数 1

一、函数的概念 1

二、函数的几种特性及基本初等函数 6

三、复合函数与初等函数 9

四、分段函数 12

五、双曲函数 13

习题1—1 13

2 极限 17

一、数列的极限 17

二、函数的极限 23

三、无穷小与无穷大 28

习题1—2 32

3 极限的运算 34

一、极限的四则运算法则 34

二、两个重要极限 39

三、无穷小的比较 42

习题1—3 45

4 函数的连续性 48

一、函数的连续性 48

二、函数的间断点 51

三、连续函数的运算及初等函数的连续性 54

四、闭区间上连续函数的性质 56

习题1—4 58

第二章 导数与微分 61

1 导数的概念 61

一、引例 61

二、导数的定义 63

三、求导数举例 65

四、导数的几何意义 67

五、可导性与连续性的关系 69

习题2—1 71

2 函数的和、差、积、商的求导法则 73

习题2—2 77

3 复合函数与反函数的求导法则 78

一、复合函数的求导法则 78

二、反函数的求导法则 82

习题2—3 84

4 初等函数的求导法 86

一、基本初等函数的导数公式 86

二、求导法则 87

习题2—4 89

5 高阶导数隐函数的导数及由参数方程确定的函数的导数 91

一、高阶导数 91

二、隐函数的导数 95

三、由参数方程所确定的函数的导数 99

习题2—5 101

6 微分 103

一、微分的概念 103

二、微分的几何意义 106

三、基本初等函数的微分公式与运算法则 106

习题2—6 111

第三章 中值定理与导数的应用 113

1 中值定理 113

一、罗尔（Rolle）定理 113

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 116

三、柯西（Cauchy）中值定理 119

习题3—1 120

2 罗必达（L'Hospital）法则 121

一、未定式O/O型的极限 121

二、未定式∞/∞型的极限 123

三、其它未定式的极限 125

习题3—2 128

3 函数的单调性判定法和函数极值的必要条件 129

一、函数的单调性判定法 129

二、函数极值的必要条件 132

习题3—3 134

4 函数极值的求法 最大值最小值问题 135

一、函数极值的充分条件 135

二、最大值最小值问题 138

习题3—4 141

5 曲线的凹凸与拐点 142

习题3—5 147

6 函数图形的描绘 148

习题3—6 152

7 曲率 153

一、曲率的概念 153

二、曲率的计算 155

三、曲率圆与曲率半径 158

习题3—7 159

8 方程的近似解 160

一、二分法 161

二、切线法 162

习题3—8 165

第四章 不定积分 166

1 不定积分的概念与性质 166

一、原函数与不定积分 166

二、基本积分表 169

三、不定积分的性质 171

四、直接积分法 171

习题4—1 174

2 换元积分法 175

一、第一换元法（凑微分法） 176

二、第二换元法 185

习题4—2 194

3 分部积分法 196

习题4—3 203

4 简单积分表及其用法 204

习题4—4 208

第五章 定积分及其应用 209

1 定积分的概念及性质 209

一、两个典型实例 209

二、定积分的概念 212

三、定积分的基本性质 218

习题5—1 221

2 微积分的基本公式 223

习题5—2 229

3 定积分的换元积分法和分部积分法 231

一、定积分的换元积分法 231

二、定积分的分部积分法 237

习题5—3 239

4 广义积分 241

一、积分区间为无穷区间的广义积分 241

二、无界函数的广义积分 246

习题5—4 248

5 定积分的近似计算 249

一、梯形法 250

二、抛物线法 252

习题5—5 257

6 定积分的应用 257

一、定积分在几何学中的应用 259

二、定积分在物理学中的一些应用 270

习题5—6 274

第六章 微分方程 277

1 微分方程的基本概念 277

习题6—1 281

2 可分离变量的一阶微分方程 282

习题6—2 289

3 一阶线性微分方程 290

习题6—3 297

4 可降阶的二阶方程 298

一、y"=f（x,y'）型微分方程 298

二、y"=f（x,y'）型微分方程 300

习题6—4 302

5 二阶常系数线性齐次微分方程 302

一、二阶线性齐次微分方程的解的结构 302

二、二阶常系数线性齐次微分方程 306

习题6—5 312

6 二阶常系数线性非齐次微分方程 313

一、二阶线性非齐次微分方程的解的结构 313

二、二阶常系数线性非齐次微分方程 315

习题6—6 321

第七章 无穷级数 322

1 常数项级数 322

一、常数项级数的概念 322

二、无穷级数的基本性质 327

三、级数收敛的必要条件 328

习题7—1 329

2 数项级数的审敛法 331

一、正项级数及其审敛法 331

二、交错级数及其审敛法 340

三、绝对收敛与条件收敛 342

习题7—2 344

3 幂级数 346

一、幂级数的概念 346

二、幂级数的运算 353

习题7—3 357

4 泰勒（Taylor）级数 359

一、泰勒公式 359

二、泰勒级数 362

三、几个初等函数的展开式 364

习题7—4 375

5 幂级数的应用举例 376

一、近似公式和近似计算 376

二、求定积分的近似值 380

习题7—5 381

6 付里叶（Fourier）级数 381

一、三角级数与三角函数系的正交性 381

二、函数的付里叶级数 383

三、在有限区间上展开函数为付里叶级数 391

习题7—6 392

7 正弦级数和余弦级数 393

一、奇函数与偶函数的付里叶级数 393

二、函数展开成正弦或余弦级数 397

习题7—7 399

8 任意区间上的付里叶级数 400

习题7—8 406

附录 积分表 408

习题答案 421