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第1章 函数与极限 1

1.1 函数 1

1.1.1 区间与邻域 1

1.1.2 函数的概念与性质 2

1.1.3 初等函数 6

1.1.4 函数应用举例 8

习题1.1 9

1.2 数列的极限 10

1.2.1 数列极限的概念 10

1.2.2 收敛数列的性质 14

1.2.3 数列收敛准则 16

习题1.2 18

1.3 函数的极限 19

1.3.1 自变量趋于无穷大时函数的极限 19

1.3.2 自变量趋于有限值时函数的极限 20

1.3.3 无穷小与无穷大 23

习题1.3 25

1.4 极限的运算与性质 26

1.4.1 极限的运算 26

1.4.2 函数极限的性质 29

习题1.4 31

1.5 极限存在准则 两个重要极限 32

1.5.1 极限存在准则 32

1.5.2 两个重要极限 33

习题1.5 35

1.6 无穷小的比较 36

习题1.6 39

1.7 函数的连续性 39

1.7.1 函数连续的概念 39

1.7.2 函数的间断点及分类 41

1.7.3 初等函数的连续性 43

习题1.7 46

1.8 闭区间上连续函数的性质 47

1.8.1 最大值与最小值定理 47

1.8.2 介值定理 48

1.8.3 一致连续 49

习题1.8 49

复习题一 50

A组 50

B组（考研试题选） 51

第2章 导数与微分 53

2.1 导数的概念 53

2.1.1 引例 53

2.1.2 导数的定义 54

2.1.3 导数的几何意义 58

2.1.4 函数可导性与连续性的关系 59

习题2.1 60

2.2 函数的求导法则 60

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 60

2.2.2 反函数的求导法则 62

2.2.3 复合函数的求导法则 63

2.2.4 基本求导法则与导数公式 65

习题2.2 67

2.3 高阶导数 68

习题2.3 70

2.4 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 71

2.4.1 隐函数的导数 71

2.4.2 对数求导法 72

2.4.3 由参数方程所确定的函数的导数 73

习题2.4 75

2.5 函数的微分 76

2.5.1 微分的概念 76

2.5.2 微分的几何意义 78

2.5.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 78

2.5.4 微分在近似计算中的应用 80

习题2.5 83

复习题二 83

A组 83

B组（考研试题选） 85

第3章 微分中值定理与导数的应用 87

3.1 中值定理 87

3.1.1 罗尔定理 87

3.1.2 拉格朗日中值定理 89

3.1.3 柯西中值定理 91

习题3.1 92

3.2 洛必达法则 93

3.2.1 0/0型与∞／∞型未定式 93

3.2.2 其他类型的未定式 96

习题3.2 97

3.3 泰勒公式 98

习题3.3 103

3.4 函数的性质与函数作图 104

3.4.1 函数的单调性 104

3.4.2 函数的极值 105

3.4.3 函数的凹凸性与拐点 109

3.4.4 函数图形的描绘 112

习题3.4 115

3.5 函数的最值及其在经济学中的应用 115

3.5.1 最值问题 115

3.5.2 最优化在经济学中的应用 117

习题3.5 121

3.6 曲率 121

3.6.1 曲率的概念 121

3.6.2 曲率的计算公式 123

3.6.3 曲率圆和曲率半径 124

习题3.6 125

3.7 方程的近似解 125

3.7.1 二分法 125

3.7.2 切线法 127

习题3.7 129

复习题三 129

A组 129

B组（考研试题选） 130

第4章 不定积分 132

4.1 不定积分的概念与性质 132

4.1.1 原函数与不定积分的概念 132

4.1.2 基本积分公式表 133

4.1.3 不定积分的性质 135

习题4.1 136

4.2 换元积分法 136

4.2.1 第一换元法 136

4.2.2 第二换元法 138

习题4.2 141

4.3 分部积分法 142

习题4.3 144

4.4 有理函数的积分 144

4.4.1 有理函数的积分的推导 144

4.4.2 可化为有理函数的积分举例 147

习题4.4 149

4.5 积分表的使用 149

4.5.1 可直接从积分表中查得结果的例子 149

4.5.2 需要先进行变量代换再查表求积分的例子 150

习题4.5 151

复习题四 151

A组 151

B组（考研试题选） 152

第5章 定积分 153

5.1 定积分的概念与性质 153

5.1.1 积分问题举例 153

5.1.2 定积分的定义 155

5.1.3 定积分的近似计算 156

5.1.4 定积分的性质 158

习题5.1 160

5.2 微积分的基本公式 161

5.2.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 161

5.2.2 积分上限函数及其导数 161

5.2.3 牛顿-莱布尼茨公式 162

习题5.2 164

5.3 定积分的计算 165

5.3.1 换元积分法 165

5.3.2 分部积分法 168

5.3.3 有理函数定积分的计算 170

习题5.3 172

5.4 反常积分 173

5.4.1 无穷积分 173

5.4.2 瑕积分 176

习题5.4 179

5.5 定积分的应用 180

5.5.1 微分元素法 180

5.5.2 平面图形的面积 181

5.5.3 几何体的体积 185

5.5.4 曲线的弧长和旋转体的侧面积 188

5.5.5 定积分在物理学中的应用 191

习题5.5 198

复习题五 199

A组 199

B组（考研试题选） 201

第6章 数学实验 微积分实验 203

6.1 MATLAB软件使用简介 203

6.2 函数作图与函数极限 208

习题6.2 211

6.3 函数的导数与应用 211

习题6.3 215

6.4 数学实验 函数的积分 215

习题6.4 219

附录 220

附录A 预备知识 220

附录B 微积分发展简史 229

附录C 积分表 231

部分习题答案与提示 242

参考文献 256