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第1章 绪论 1

1.1 计算方法的研究对象与特点 1

1.2 误差 3

1.2.1 绝对误差与绝对误差限 3

1.2.2 相对误差与相对误差限 3

1.2.3 有效数字 3

1.2.4 误差的传播 4

1.3 数值计算中应注意的一些原则 6

1.4 MATLAB解题示例 8

习题1 10

实验1 11

第2章 插值法 12

2.1 插值多项式定义 12

2.2 插值多项式的存在唯一性与余项 13

2.3 拉格朗日插值多项式 14

2.4 牛顿插值多项式 16

2.4.1 差商的概念 16

2.4.2 差商性质 17

2.4.3 牛顿插值多项式及余项 18

2.5 埃尔米特插值多项式 20

2.5.1 埃尔米特插值多项式定义 20

2.5.2 埃尔米特插值多项式的构造 20

2.5.3 埃尔米特插值多项式的唯一性 21

2.5.4 余项 21

2.6 分段线性插值 23

2.6.1 龙格现象 23

2.6.2 分段线性插值 24

2.7 三次样条插值 25

2.7.1 三次样条插值函数的定义 25

2.7.2 确定三次样条插值函数的条件分析 25

2.7.3 三次样条插值函数的构建 25

2.7.4 三次样条插值函数的误差界与收敛性 27

2.8 MATLAB解题举例 28

习题2 34

实验2 36

第3章 曲线拟合的最小二乘法 37

3.1 曲线拟合与最小二乘法 37

3.2 多项式拟合函数 40

3.3 用正交多项式作最小二乘拟合 41

3.4 矛盾方程组的最小二乘解 44

3.5 MATLAB解题举例 46

习题3 50

实验3 51

第4章 数值积分 52

4.1 数值求积的基本思想 52

4.2 代数精度 54

4.3 插值型求积公式 55

4.4 牛顿-科茨公式 55

4.5 偶阶求积公式的代数精度 58

4.6 复化求积公式 58

4.6.1 梯形求积公式的余项 59

4.6.2 辛普森求积公式的余项 59

4.6.3 复化梯形求积公式 59

4.6.4 复化辛普森求积公式 60

4.6.5 Sn与Tn的关系 61

4.7 复化梯形求积公式的递推化 62

4.7.1 梯形的递推化算法 62

4.7.2 误差的事后估计与补偿值 62

4.7.3 梯形递推化公式的实现算法 63

4.8 龙贝格算法 64

4.8.1 理查森外推加速法 64

4.8.2 龙贝格求积算法 66

4.9 高斯型求积公式 67

4.9.1 高斯型求积公式的定义 67

4.9.2 高斯型求积公式的求法 68

4.9.3 高斯点的特性 68

4.9.4 高斯型求积公式的余项 69

4.9.5 高斯型求积公式的稳定性 69

4.9.6 高斯-勒让德求积公式 70

4.10 MATLAB解题举例 72

习题4 74

实验4 75

第5章 非线性方程求根 77

5.1 根的隔离 77

5.2 两分法 78

5.3 迭代法 80

5.3.1 迭代法的基本思想 80

5.3.2 迭代法的几何意义 80

5.3.3 迭代法的收敛性 81

5.3.4 局部收敛性 82

5.3.5 收敛速度 82

5.3.6 迭代过程的加速 83

5.4 牛顿法 85

5.5 弦截法 87

5.6 MATLAB解题举例 90

习题5 92

实验5 93

第6章 线性方程组的数值求解 94

6.1 高斯顺序消去法 94

6.1.1 高斯顺序消去法思想 94

6.1.2 高斯顺序消去法与矩阵分解 96

6.2 高斯列主元消去法 101

6.3 高斯全主元消去法 103

6.4 平方根法 104

6.4.1 实对称正定矩阵的三角分解 104

6.4.2 改进的平方根算法 105

6.5 追赶法 107

6.6 向量与矩阵范数 108

6.6.1 向量范数 108

6.6.2 向量范数的性质 109

6.6.3 向量序列的收敛性 110

6.6.4 矩阵范数及性质 111

6.7 误差分析 114

6.7.1 方程组的病态性 114

6.7.2 矩阵的条件数 115

6.8 迭代法 116

6.8.1 迭代法与向量序列的敛散性 116

6.8.2 矩阵序列的收敛性 116

6.8.3 迭代法基本定理 119

6.8.4 雅可比迭代法 120

6.8.5 高斯-塞德尔迭代法 121

6.8.6 雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代的收敛定理 123

6.9 MATLAB解题举例 124

习题6 127

实验6 129

第7章 常微分方程初值问题的数值解法 131

7.1 微分方程数值解法 131

7.2 欧拉公式 131

7.2.1 显式欧拉公式 131

7.2.2 显式欧拉公式的几何意义 132

7.2.3 局部截断误差 132

7.2.4 隐式欧拉公式 133

7.2.5 梯形公式 134

7.2.6 改进的欧拉公式 135

7.3 龙格-库塔方法 136

7.3.1 二阶龙格-库塔公式 136

7.3.2 四阶龙格-库塔公式 138

7.4 单步法的收敛性 138

7.5 单步法的稳定性 140

7.6 线性多步法 143

7.6.1 线性多步法的一般公式 143

7.6.2 线性多步公式的构造 143

7.6.3 四阶亚当斯显式公式 144

7.6.4 四阶亚当斯隐式公式 145

7.6.5 亚当斯预校系统 146

7.6.6 改进的亚当斯预校系统 146

7.7 MATLAB解题举例 147

习题7 152

实验7 153

部分习题答案 155

实验题参考解答 161

参考文献 197