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第8章 空间解析几何及向量代数 1

8.1 向量及其线性运算 1

8.1.1 向量概念 1

8.1.2 向量的线性运算 2

8.1.3 空间直角坐标系 4

8.1.4 向量的坐标运算 5

8.1.5 向量的模、方向角、投影 6

习题8.1 8

8.2 数量积向量积混合积 9

8.2.1 两向量的数量积 9

8.2.2 两向量的向量积 11

8.2.3 向量的混合积 13

习题8.2 14

8.3 曲面及其方程 14

8.3.1 曲面方程的概念 14

8.3.2 旋转曲面 15

8.3.3 柱面 17

8.3.4 二次曲面 19

习题8.3 22

8.4 空间曲线及其方程 22

8.4.1 空间曲线的一般方程 22

8.4.2 空间曲线的参数方程 23

8.4.3 空间曲线在坐标面上的投影 24

习题8.4 25

8.5 平面及其方程 25

8.5.1 平面的点法式方程 25

8.5.2 平面的一般方程 26

8.5.3 两平面的夹角 27

习题8.5 29

8.6 空间直线及其方程 29

8.6.1 空间直线的一般方程 29

8.6.2 对称式方程和参数方程 29

8.6.3 两直线的夹角 31

8.6.4 直线与平面的夹角 32

习题8.6 34

复习题8 35

数学文化8 解析几何学奠基人——笛卡儿 37

第9章 多元函数微分法及其应用 39

9.1 多元函数的基本概念 39

9.1.1 二元函数的定义 39

9.1.2 二元函数的极限 41

9.1.3 二元函数的连续性 41

习题9.1 43

9.2 偏导数 44

9.2.1 偏导数的定义及其计算法 44

9.2.2 高阶偏导数 47

习题9.2 48

9.3 全微分 48

9.3.1 全微分的定义 48

9.3.2 全微分在近似计算中的应用 51

习题9.3 51

9.4 多元复合函数的求导法则 52

9.4.1 复合函数的一阶偏导数 52

9.4.2 复合函数的高阶偏导数 55

9.4.3 全微分形式的不变性 55

习题9.4 56

9.5 多元隐函数的求导法 56

9.5.1 一个一元隐函数的情形 56

9.5.2 一个二元隐函数的情形 58

9.5.3 两个二元隐函数的情形 58

9.5.4 两个一元隐函数的情形 60

习题9.5 61

9.6 多元函数微分学的几何应用 62

9.6.1 空间曲线的切线与法平面 62

9.6.2 曲面的切平面与法线 65

习题9.6 67

9.7 方向导数与梯度 67

9.7.1 方向导数 67

9.7.2 梯度 70

9.7.3 数量场与向量场 73

习题9.7 73

9.8 多元函数的极值 74

9.8.1 多元函数的极值 74

9.8.2 多元函数的最大值与最小值 76

9.8.3 条件极值，拉格朗日乘数法 76

习题9.8 80

复习题9 80

数学文化9 德国的法学博士——莱布尼茨 84

第10章 重积分 86

10.1 二重积分的概念 86

10.1.1 二重积分的概念 86

10.1.2 二重积分的性质 89

习题10.1 90

10.2 二重积分的计算 91

10.2.1 在直角坐标系中计算二重积分 91

10.2.2 利用极坐标计算二重积分 96

习题10.2 100

10.3 三重积分 101

10.3.1 三重积分的概念 101

10.3.2 三重积分的计算 102

习题10.3 110

10.4 重积分的应用 111

10.4.1 曲面的面积 111

10.4.2 质心 114

10.4.3 转动惯量 115

10.4.4 引力 116

习题10.4 117

复习题10 118

数学文化10 英国的数学奇才——麦克劳林 121

第11章 曲线积分与曲面积分 123

11.1 对弧长的曲线积分 123

11.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质 123

11.1.2 对弧长的曲线积分的计算方法 125

11.1.3 对弧长的曲线积分的应用 127

习题11.1 130

11.2 对坐标的曲线积分 131

11.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 131

11.2.2 对坐标的曲线积分的计算方法 134

11.2.3 对坐标的曲线积分的应用 137

习题11.2 138

11.3 格林公式及其应用 139

11.3.1 格林公式 139

11.3.2 格林公式的应用 143

习题11.3 147

11.4 对面积的曲面积分 148

11.4.1 对面积的曲面积分的概念与性质 148

11.4.2 对面积的曲面积分的计算 149

11.4.3 对面积的曲面积分的应用 152

习题11.4 154

11.5 对坐标的曲面积分 155

11.5.1 对坐标的曲面积分的概念与性质 155

11.5.2 对坐标的曲面积分的计算 158

11.5.3 两类曲面积分间的关系 160

习题11.5 162

11.6 高斯公式通量与散度 163

11.6.1 高斯公式 163

11.6.2 曲面积分与曲面无关的条件 165

11.6.3 通量与散度 166

习题11.6 168

11.7 斯托克斯公式环流量与旋度 169

11.7.1 斯托克斯公式 169

11.7.2 空间曲线积分与路径无关的条件 172

11.7.3 环流量、旋度 173

习题11.7 175

复习题11 175

数学文化11 德国的数学全才——高斯 178

第12章 无穷级数 181

12.1 常数项级数的概念和性质 181

12.1.1 无穷级数的概念 181

12.1.2 级数的基本性质 184

习题12.1 186

12.2 常数项级数的审敛法 187

12.2.1 正项级数及审敛法 187

12.2.2 交错级数及其审敛法 194

12.2.3 绝对收敛与条件收敛 195

习题12.2 197

12.3 幂级数 198

12.3.1 函数项级数的一般概念 198

12.3.2 幂级数及其收敛域 199

12.3.3 幂级数的运算性质 202

习题12.3 205

12.4 函数的幂级数展开 206

12.4.1 泰勒公式与泰勒级数 206

12.4.2 函数的幂级数展开 208

习题12.4 212

12.5 函数幂级数展开式的应用 212

12.5.1 函数的多项式逼近 213

12.5.2 近似计算 214

12.5.3 微分方程的幂级数解法 216

习题12.5 217

12.6 傅里叶级数 218

12.6.1 三角级数 三角函数系的正交性 218

12.6.2 函数展开成傅里叶级数 219

12.6.3 奇函数和偶函数的傅里叶级数 223

习题12.6 226

12.7 一般周期函数的傅里叶级数 227

12.7.1 周期为2l的周期函数的傅里叶级数 227

12.7.2 定义在［-l,l］或［0,l］上的函数展开成傅里叶级数 229

12.7.3 傅里叶级数的复数形式 231

习题12.7 233

复习题12 233

数学文化12 法国的“天才教师”——傅里叶 236

第13章 MATLAB数学实验（下） 240

13.1 多元函数及其微积分 240

13.1.1 绘制三维图形 240

13.1.2 多元函数的微积分 247

习题13.1 249

13.2 无穷级数及曲线拟合 250

13.2.1 级数求和与级数展开 251

13.2.2 泰勒级数运算器 253

13.2.3 多项式的简单运算及曲线拟合 254

习题13.2 258

13.3 MATLAB编程基础 259

13.3.1 文件类型与变量类型 259

13.3.2 M文件的控制语句 263

习题13.3 269

数学文化13 法国的牛顿——拉普拉斯 269

附录 272

附录A MATLAB常用基本命令速查表 272

习题参考答案 282

参考文献 290