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第五章 多元函数微分学 1

第一节 多元函数的极限与连续性 1

一、多元函数的极限 1

二、多元函数的连续性 4

三、有界闭区域上多元连续函数的性质 4

习题5-1 5

第二节 偏导数 5

一、一阶偏导数 5

二、高阶偏导数 10

习题5-2 12

第三节 全微分 13

一、全微分的概念 13

二、多元函数可微分的条件 14

习题5-3 20

第四节 多元函数的求导法则 20

一、多元复合函数的求导法则 20

二、隐函数的求导法则 25

习题5-4 28

第五节 方向导数与梯度 30

一、方向导数 30

二、梯度 34

习题5-5 36

第六节 多元函数微分学的几何应用 36

一、空间曲线的切线与法平面 36

二、曲面的切平面与法线 39

习题5-6 42

第七节 多元函数的极值 42

一、多元函数的极值与最大值、最小值 42

二、条件极值 47

习题5-7 54

数学实验（五） 54

一、问题的描述 54

二、实验内容 55

三、思考与练习 58

数学文化（五） 58

一、偏导数的起源与演变 58

二、欧拉 59

第六章 多元函数积分学 61

第一节 二重积分 61

一、二重积分的概念 61

二、二重积分的性质 65

三、二重积分的计算 67

习题6-1 77

第二节 三重积分 79

一、三重积分的定义与性质 79

二、三重积分的计算 82

习题6-2 92

第三节 曲线积分 93

一、第一类曲线积分 93

二、第二类曲线积分 98

习题6-3 102

第四节 格林公式及其应用 102

一、格林公式 102

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 106

习题6-4 109

第五节 第一类曲面积分 110

一、第一类曲面积分的定义 110

二、第一类曲面积分的性质及其对称性 112

三、第一类曲面积分的计算 113

习题6-5 115

第六节 第二类曲面积分 115

一、第二类曲面积分的定义与性质 115

二、第二类曲面积分的计算 120

三、高斯公式 121

习题6-6 123

第七节 多元函数积分学的物理应用 124

一、质心 124

二、转动惯量 127

三、功 129

习题6-7 130

数学实验（六） 131

一、问题的描述 131

二、实验内容 131

三、思考与练习 132

数学文化（六） 133

一、多元函数积分学的发展历程 133

二、高斯 133

第七章 无穷级数 136

第一节 常数项级数的概念与性质 136

一、常数项级数的概念 136

二、级数的基本性质 139

习题7-1 141

第二节 常数项级数敛散性的判别法 142

一、正项级数及其敛散性的判别法 142

二、交错级数及其判别法 148

三、绝对收敛与条件收敛 150

习题7-2 152

第三节 幂级数 153

一、函数项级数的一般概念 153

二、幂级数及其收敛性 154

三、幂级数的运算及和函数的性质 159

四、函数展开成幂级数 161

习题7-3 168

第四节 傅里叶级数 169

一、三角级数 169

二、三角函数系的正交性 170

三、傅里叶级数 171

四、正弦级数与余弦级数 176

习题7-4 179

数学实验（七） 179

一、问题的描述 179

二、实验内容 180

三、思考与练习 182

数学文化（七） 182

一、无穷级数的发展历程 182

二、傅里叶 186

第八章 微分方程 188

第一节 微分方程的基本概念 188

习题8-1 191

第二节 一阶微分方程的可积类型 191

一、可分离变量方程 191

二、可化为分离变量方程的类型 194

三、一阶线性方程 197

四、可化为一阶线性方程的类型 201

习题8-2 203

第三节 一阶微分方程的数值解法 204

一、欧拉方法 205

二、预报校正法 206

三、龙格-库塔法 207

习题8-3 208

第四节 可降阶的高阶微分方程 208

一、不显含未知函数的二阶微分方程 209

二、不显含自变量的二阶微分方程 211

习题8-4 214

第五节 二阶线性微分方程 215

一、二阶线性微分方程解的结构 215

二、二阶常系数齐次线性微分方程 216

三、二阶常系数非齐次线性微分方程 220

习题8-5 224

第六节 微分方程的应用 225

一、正规战问题 226

二、人口增长预报问题 229

数学实验（八） 233

一、利用数学软件求解微分方程 233

二、油气产量和可采储量的预测问题 234

数学文化（八） 238

一、常微分方程的起源与发展 238

二、伯努利家族 239

部分习题答案与提示 242

参考文献 254