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第六章 微分方程 1

第一节 微分方程的基本概念 1

一、微分方程的定义 2

二、微分方程的一些基本概念 2

三、微分方程解的概念 2

习题6-1 4

第二节 可分离变量的微分方程 4

一、可分离变量的微分方程 4

二、可分离变量的微分方程的解法 5

习题6-2 7

第三节 一阶线性微分方程 7

一、一阶线性微分方程的定义 7

二、常数变易法 8

习题6-3 10

第四节 可降阶的二阶微分方程 11

一、不显含y型y″=f（x,y′） 11

二、不显含x型y″=f（y,y′） 12

习题6-4 12

第五节 二阶常系数齐次线性微分方程 13

一、二阶齐次线性微分方程的解的结构 13

二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 14

习题6-5 16

第六节 二阶常系数非齐次线性微分方程 17

一、二阶常系数非齐次线性微分方程的解的结构 17

二、f(x)=Pm(x)eλx型 17

三、f(x)=Acosωx+Bsinωx型 19

习题6-6 20

学习指导 20

一、基本要求与重点 20

二、内容小结 21

三、解题指导 24

复习题六 28

第七章 向量代数与空间解析几何 31

第一节 向量及其线性运算 31

一、空间直角坐标系 31

二、两点间的距离公式 32

三、向量与向量的线性运算 33

四、向量的坐标表示 34

习题7-1 36

第二节 向量的数量积和向量积 37

一、向量的数量积 37

二、向量的向量积 39

习题7-2 42

第三节 空间平面及直线的方程 43

一、平面的点法式方程 43

二、平面的一般方程 44

三、空间直线的点向式方程和参数方程 46

四、空间直线的一般方程 47

五、位置关系（平面间、直线间、平面与直线间的关系） 48

习题7-3 50

第四节 二次曲面与空间曲线 51

一、二次曲面 51

二、空间曲线及其在坐标面上的投影 55

习题7-4 57

学习指导 59

一、基本要求与重点 59

二、内容小结与解题指导 59

复习题七 64

第八章 多元函数微分学 68

第一节 多元函数的极限与连续 68

一、多元函数的概念 68

二、二元函数的极限与连续 70

三、有界闭区域上连续函数的性质 72

习题8-1 72

第二节 偏导数与全微分 73

一、偏导数的定义 73

二、全微分的定义 75

三、高阶偏导数 76

习题8-2 78

第三节 复合函数的求导法则 80

一、多元复合函数的求导法则 80

二、隐函数的求导法 83

习题8-3 85

第四节 偏导数在几何上的应用 86

一、空间曲线的切线与法平面 86

二、曲面的切平面与法线 88

习题8-4 89

第五节 多元函数的极值与条件极值 90

一、多元函数的极值 90

二、条件极值 92

习题8-5 94

学习指导 95

一、基本要求与重点 95

二、内容小结 96

三、解题指导 99

复习题八 108

第九章 重积分与曲线积分 114

第一节 二重积分的概念和性质 114

一、二重积分的概念 114

二、二重积分的基本性质 117

习题9-1 119

第二节 二重积分的计算方法 120

一、直角坐标系中的计算法 120

二、极坐标系中的计算法 127

习题9-2 132

第三节 二重积分的应用 134

一、计算平面图形面积 134

二、计算体积，二重积分微元法 135

三、计算曲面面积 137

四、计算平面薄板的重心 138

五、计算平面薄板的转动惯量 140

习题9-3 141

第四节 三重积分 143

一、三重积分的概念 143

二、三重积分的计算 143

习题9-4 147

第五节 曲线积分 148

一、对弧长的曲线积分 149

二、对坐标的曲线积分 152

习题9-5 155

学习指导 157

一、基本要求与重点难点 157

二、内容小结 157

三、解题指导 161

复习题九 169

第十章 无穷级数 175

第一节 常数项级数 175

一、级数的收敛性 175

二、无穷级数的基本性质 177

习题10-1 178

第二节 常数项级数的审敛法 179

一、正项级数的审敛法 179

二、交错级数及其审敛法 182

三、绝对收敛和条件收敛 183

习题10-2 184

第三节 幂级数 185

一、幂级数及其收敛区间 185

二、幂级数的运算 188

习题10-3 191

第四节 函数的幂级数展开 192

一、麦克劳林级数 192

二、函数展开为幂级数的间接方法 196

习题10-4 198

第五节 傅里叶级数 198

一、三角级数、三角函数系的正交性 198

二、欧拉—傅里叶公式 199

三、周期为2π的函数的傅里叶级数展开 200

四、正弦级数与余弦级数 202

习题10-5 204

第六节 任意区间上的傅里叶级数 205

一、周期为2l的函数的傅里叶级数展开 205

二、任意区间上的傅里叶级数 207

三、函数的正弦级数与余弦级数展开 209

习题10-6 211

第七节 傅里叶级数的复数形式 212

习题10-7 215

学习指导 215

一、基本要求与重点难点 215

二、内容小结 216

三、解题指导 220

复习题十 231

第十一章 拉普拉斯变换 236

第一节 拉普拉斯变换及其性质 236

一、拉氏变换的基本概念 236

二、单位阶梯函数和狄拉克函数 238

三、拉氏变换的性质 239

习题11-1 245

第二节 拉氏逆变换和拉氏变换的应用 246

一、拉氏变换的逆变换 246

二、拉氏变换的应用 248

习题11-2 250

学习指导 251

一、基本要求与重点 251

二、内容小结 252

三、解题指导 252

复习题十一 255

参考答案 257