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第1章 命题逻辑 1

1.1 现代逻辑学的基本研究方法 1

1.2 命题及其表示法 3

1.2.1 命题的概念 3

1.2.2 联结词 4

1.3 命题公式与语句形式化 7

1.3.1 命题公式的定义 7

1.3.2 公式的层次 8

1.3.3 语句形式化 8

1.3.4 复合命题真假值 9

1.3.5 真值表 10

1.4 重言式 11

1.4.1 重言式概述 11

1.4.2 逻辑等价式 13

1.4.3 等值演算 15

1.5 对偶与范式 16

1.5.1 对偶 16

1.5.2 简单合取式和简单析取式 16

1.5.3 范式 17

1.5.4 范式的唯一性——主范式 19

1.6 其他联结词 24

1.6.1 n元真值函数 24

1.6.2 真值函数与命题公式的关系 25

1.6.3 联结词完备集 25

1.6.4 单元素联结词构成的联结词完备集 26

1.7 命题演算的推理理论 27

1.7.1 有效推理 27

1.7.2 有效推理的等价定理 29

1.7.3 重言蕴涵式 31

1.7.4 形式推理系统 32

1.7.5 自然推理系统P2 35

1.8 命题演算中的归结推理 42

1.8.1 归结推理规则 42

1.8.2 归结反演 43

1.8.3 命题逻辑归结反演的合理性和完备性 44

习题 44

第2章 谓词逻辑 53

2.1 谓词逻辑的基本概念 53

2.1.1 个体词 54

2.1.2 谓词 54

2.1.3 量词 55

2.2 谓词逻辑公式与翻译 56

2.2.1 一阶语言 56

2.2.2 自由与约束 57

2.2.3 闭公式 58

2.2.4 谓词逻辑公式的解释 59

2.2.5 谓词逻辑命题符号化 60

2.2.6 一阶公式的分类 63

2.3 谓词逻辑等值演算 64

2.3.1 基本等价式与置换规则 64

2.3.2 谓词逻辑前束范式 68

2.4 谓词演算的推理理论 69

2.4.1 推理定律 69

2.4.2 量词消去与引入规则 70

2.4.3 一阶谓词演算公理系统F1 71

2.4.4 自然推理系统F2 72

2.5 谓词演算中的归结推理 74

2.5.1 子句型 74

2.5.2 置换和合一 76

2.5.3 合一算法 78

2.5.4 归结式 79

2.5.5 归结反演及其完备性 80

2.6 逻辑在计算机科学中的作用 81

2.6.1 逻辑与计算 81

2.6.2 逻辑与计算机的起源 82

2.6.3 逻辑与程序设计 83

习题 84

第3章 集合与关系 90

3.1 集合的概念和表示法 90

3.1.1 集合的表示 90

3.1.2 基本概念 92

3.2 集合的运算 93

3.2.1 集合的基本运算 93

3.2.2 有穷计数集 93

3.2.3 广义交和广义并 95

3.3 有序对与笛卡儿积 97

3.4 关系及其表示 99

3.4.1 基本概念 99

3.4.2 关系表示法 100

3.5 关系的运算 102

3.5.1 基本概念 102

3.5.2 复合关系 103

3.5.3 逆关系 104

3.5.4 关系幂 106

3.5.5 幂运算的性质 107

3.6 关系的性质 109

3.6.1 关系的5种基本性质 109

3.6.2 关系性质的等价描述 110

3.7 关系的闭包 113

3.7.1 基本概念 114

3.7.2 闭包的性质 118

3.8 集合的划分与覆盖 119

3.9 等价关系和等价类 120

3.9.1 等价关系 120

3.9.2 等价类的性质 122

3.9.3 商集与划分 123

3.10 相容关系和相容类 124

3.11 偏序关系 125

3.12 偏序集与哈斯图 126

3.13 包含排斥原理 129

习题 130

第4章 函数 137

4.1 函数的定义 137

4.1.1 函数和像 137

4.1.2 函数的性质 139

4.1.3 常用函数 140

4.2 复合函数和反函数 141

4.2.1 复合函数 141

4.2.2 反函数 143

4.3 特征函数与模糊子集 145

4.4 基数的概念 147

4.4.1 后继与归纳集 147

4.4.2 自然数，有穷集，无穷集 148

4.4.3 基数 152

4.5 可数集与不可数集 153

4.6 数学归纳法 155

习题 158

第5章 组合计数与离散概率 162

5.1 基本原理 162

5.1.1 加法原理 162

5.1.2 乘法原理 163

5.2 排列与组合 164

5.2.1 排列 164

5.2.2 组合 164

5.3 排列组合生成算法 165

5.3.1 排列生成算法 165

5.3.2 组合生成算法 166

5.4 广义的排列和组合 169

5.5 二项式系数和组合恒等式 171

5.5.1 二项式定理 171

5.5.2 组合恒等式 172

5.6 鸽笼原理 174

5.6.1 鸽笼原理的简单形式 174

5.6.2 鸽笼原理的一般形式 174

5.7 递推关系及应用 176

5.7.1 递推定义函数 176

5.7.2 递推定义集合 178

5.7.3 递推关系模型 179

5.7.4 求解递推关系 181

5.7.5 递推在算法分析中的应用 183

5.7.6 生成函数 187

5.8 离散概率 190

5.8.1 随机事件与概率 190

5.8.2 有限概率 191

5.8.3 条件概率与独立性 193

5.8.4 Bayes定理 194

习题 195

第6章 图论 198

6.1 图的基本概念 198

6.1.1 图的定义和表示 198

6.1.2 图的同构 202

6.1.3 完全图与正则图 204

6.1.4 子图与补图 204

6.1.5 通路与回路 206

6.2 图的连通性 208

6.2.1 无向图的连通性 208

6.2.2 有向图的连通性 209

6.3 图的矩阵表示 210

6.3.1 关联矩阵 210

6.3.2 有向图的邻接矩阵 211

6.3.3 有向图的可达矩阵 212

6.4 欧拉图 213

6.5 哈密顿图 215

6.6 二部图 218

6.6.1 二部图及判别定理 218

6.6.2 完备匹配 219

6.7 平面图 221

6.7.1 平面图及其判定定理 221

6.7.2 平面图的对偶图 226

6.8 带权图 228

习题 229

第7章 树及其应用 237

7.1 概述 237

7.1.1 树的定义及相关术语 237

7.1.2 树的性质 239

7.2 生成树 240

7.3 最小生成树 243

7.4 树的遍历 246

7.5 二叉树 248

7.5.1 二叉树的性质 248

7.5.2 二叉搜索树 249

7.5.3 哈夫曼树 250

7.6 决策树 252

7.6.1 决策树的定义 252

7.6.2 最短时间排序 253

7.7 树的同构 254

7.8 博弈树 258

7.8.1 博弈树的概念 258

7.8.2 极大极小分析法 258

习题 260

第8章 代数系统 264

8.1 二元运算及其性质 264

8.1.1 定义和表示 264

8.1.2 二元运算的性质 266

8.2 代数系统 268

8.2.1 定义和实例 268

8.2.2 子代数系统 270

8.2.3 代数系统的同态与同构 270

8.3 半群与独异点 271

8.3.1 定义与性质 271

8.3.2 子系统与直积 273

8.4 群 273

8.4.1 群的定义 273

8.4.2 群的性质 275

8.4.3 子群的定义 278

8.4.4 特殊的群 279

8.4.5 陪集与拉格朗日定理 282

8.4.6 正规子群与商群 283

8.4.7 群的同态与同构实例 286

8.5 环与域 288

8.5.1 环 288

8.5.2 域 289

8.6 格与布尔代数 290

8.6.1 格 290

8.6.2 布尔代数 295

8.7 组合电路 297

习题 299

第9章 自动机、文法和语言 306

9.1 串和语言 306

9.2 形式文法 307

9.3 有限状态机 310

9.4 有限状态自动机 312

9.5 不确定有限状态自动机 315

9.6 语言和自动机之间的关系 318

习题 319

第10章 初等数论 322

10.1 素数 322

10.2 最大公约数与最小公倍数 323

10.3 同余 326

10.4 一次同余方程和中国剩余定理 328

10.4.1 一次同余方程 328

10.4.2 中国剩余定理 329

10.5 欧拉定理和费马小定理 330

10.6 数论在密码学中的应用 331

10.6.1 公钥密码学 331

10.6.2 RSA密码 332

习题 333

附录 历史注记 335

习题答案 348

参考文献 370