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第一篇 泛函分析的一些基本知识 1

第一章 泛函分析的一些基本知识 1

1距离空间 1

1.1距离空间的定义和例子 1

1.2距离空间中的点集 3

1.3收敛性与完备性 4

2线性赋范空间 5

2.1线性空间的定义和例子 5

2.2线性赋范空间 6

3希尔伯特空间 7

习题一 9

第二篇 变分法 11

第二章 引论 固定边界的变分问题 11

1变分问题的引出 11

1.1最速降线问题 11

1.2短程线问题 13

1.3古典等周问题 13

2关于泛函极值的一些基本概念 14

3变分概念 欧拉方程 18

3.1变分概念 19

3.2变分法的基本引理 21

3.3欧拉方程 22

4欧拉方程的几种特殊情况 23

5含多个函数的泛函与含高阶导数的泛函 26

6含多个自变量的函数的泛函 31

习题二 33

第三章 条件变分问题与可动边界的变分问题 37

1条件变分问题 37

1.1 G（x，y1，y2，…，yn）=0型的约束 37

1.2 G（x，y1，y2，…，yn，y＇1，y＇2，…，y＇n）=0型的约束 40

1.3等周问题 41

2自然边界条件 44

习题三 48

第四章 变分原理与直接方法 51

1哈米顿原理和最小位能原理 51

1.1哈米顿原理 51

1.2最小位能原理 53

2变分原理 55

3吕兹方法 63

4迦辽金方法 68

习题四 72

第三篇 积分方程 74

第五章 积分方程的概念及解法 74

1积分方程的概念、分类及例子 74

1.1积分方程的概念 74

1.2积分方程的分类 75

1.3导出积分方程的例子 77

2具有退化核的积分方程 80

2.1第一类弗雷德霍姆方程 80

2.2第二类齐次弗雷德霍姆方程 82

2.3第二类非齐次弗雷德霍姆方程 83

3伏特拉方程及具有卷积核的方程 86

3.1化为微分方程的求解方法 87

3.2拉普拉斯变换法 88

3.3富里埃变换法 89

4逐次逼近法 90

4.1第二类伏特拉方程 90

4.2第一类伏特拉方程 93

4.3第二类弗雷德霍姆方程 94

5近似解法 96

5.1迭代法 97

5.2核与自由项的渐近 98

5.3配置法 99

5.4迦辽金法 101

6数值积分法 102

6.1第二类伏特拉积分方程 102

6.2第二类非齐次的弗雷德霍姆方程 104

习题五 105

第六章 积分方程的基本理论 109

1两类积分算子的压缩性 109

1.1第二类弗雷德霍姆积分方程所对应的积分算子及其压缩性 109

1.2第二类伏特拉方程所对应的积分算子的压缩性 110

2解的存在及唯一性定理 112

2.1弗雷德霍姆方程解的存在及唯一性 112

2.2伏特拉方程解的存在及唯一性 113

2.3非线性积分方程解的存在及唯一性 114

3第二类弗雷德霍姆方程 117

3.1迭代序列及解核的收敛性 117

3.2解核的性质 120

3.3L2核的ω分解 121

3.4特征值与特征函数 122

4具有对称核的第二类弗雷德霍姆方程 125

4.1对称核的性质 125

4.2特征值的存在性 125

4.3特征值与特征函数的性质 126

5展开定理 127

5.1正交标准函数系 128

5.2正交标准特征系 130

5.3对称核关于正交标准特征系的展开 131

5.4对称核积分方程的解 138

习题六 140

第四篇 摄动法初步 143

第七章 摄动法初步 143

1摄动法若干基本概念 143

1.1引言 143

1.2符号与定义 145

1.3渐近级数 146

2正则摄动和奇摄动问题 148

2.1正则摄动问题 148

2.2奇摄动问题 152

3Lindstedt-Poincare方法 154

3.1L-P方法 154

3.2P-L-K法 156

4匹配法与合成法 162

4.1Prandtl匹配法（1905） 163

4.2合成法（又称修正匹配法） 168

5多重尺度法 171

5.1导数展开法 177

5.2双变量展开法 181

5.3非线性尺度法 183

6估计余项 187

习题七 187

第五篇 偏微分方程的广义解 192

第八章 偏微分方程的广义解 192

1引言 192

2Sobolev空间简介 195

2.1广义导数 195

2.2Soboev空间 197

2.3嵌入定理 198

2.4迹定理 201

3二阶椭圆型方程边值问题的广义解 203

3.1Poisson方程的Dirichlet问题 203

3.2Lax-Milgram定理 207

3.3Poisson方程的Neumann问题 209

3.4第三边值问题 212

3.5广义解的正则性 213

4一般的二阶椭圆型方程的Dirichlet问题 215

4.1广义解的存在唯一性 216

4.2广义解的正则性 218

习题八 219