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第一篇 函数、极限与连续 3

第一章 函数、极限与连续 3

第一节 函数 3

一、预备知识 3

二、函数的基本概念 6

三、函数的简单性质 11

四、由已知函数构造新函数 14

五、初等函数 21

六、函数关系的建立 27

习题1-1 34

第二节 极限的概念 36

一、极限概念的引入 36

二、数列极限 39

三、自变量趋于无穷大时的函数极限 44

四、自变量趋于有限值时的函数极限 47

五、本节内容小结 52

习题1-2 54

第三节 极限运算法则 55

一、极限的四则运算法则 55

二、复合函数的极限运算法则 59

习题1-3 61

第四节 极限存在准则 两个重要极限 62

一、夹逼准则 62

二、第一个重要极限lim x→o sin x/x=1 64

三、单调有界原理 65

四、第二个重要极限lim x→o（1+x）1/x=e 66

五、极限lim x→+∞(1+1/x)x=e与指数增长模型 70

习题1-4 71

第五节 无穷小与无穷大 72

一、无穷小的概念与性质 72

二、无穷小的比较 75

三、利用等价无穷小代换求极限 77

四、无穷大 80

习题1-5 82

第六节 函数的连续性 83

一、函数的连续与间断点的概念 83

二、连续函数的运算与初等函数的连续性 90

三、闭区间上连续函数的性质 93

习题1-6 97

第一篇复习指导与自测 100

第二篇 一元函数微分学 107

第二章 导数与微分 107

第一节 导数的概念 107

一、导数概念的引入 107

二、导数的定义 109

三、导数的几何意义 112

四、函数的可导性与连续性的关系 113

五、导数的基本应用 114

习题2-1 115

第二节 求导法则 116

一、函数的和、差、积、商的求导法则 116

二、反函数的求导法则 118

三、复合函数的求导法则 119

四、对数求导法 121

五、基本初等函数的导数公式 122

习题2-2 123

第三节 高阶导数 由参数方程所表示的函数的导数 124

一、高阶导数的定义与计算法 125

二、由参数方程所表示的函数的导数 128

习题2-3 130

第四节 隐函数的导数 相关变化率 131

一、隐函数的导数 131

二、相关变化率 133

习题2-4 136

第五节 函数的微分 136

一、微分的定义 137

二、微分的几何意义与函数的局部线性化 141

三、基本微分公式与微分运算法则 142

四、微分在近似计算中的应用 146

习题2-5 148

第三章 微分中值定理与导数的应用 150

第一节 微分中值定理 150

一、罗尔（Rolle）定理 150

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 153

三、柯西（Cauchy）中值定理 156

习题3-1 158

第二节 洛必达法则 159

一、0/0型或∞/∞型不定式的洛必达法则 159

二、其他五类不定式的极限 162

习题3-2 164

第三节 泰勒公式 165

一、泰勒（Taylor）公式 165

二、泰勒公式应用举例 169

习题3-3 171

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 172

一、函数的单调性 172

二、曲线的凹凸性与拐点 177

习题3-4 184

第五节 函数的极值与最大最小值 185

一、函数的极值 185

二、函数的最大最小值及其应用 189

习题3-5 193

第六节 函数图像的描绘 194

一、曲线的水平渐近线与铅直渐近线 194

二、函数图像的描绘 196

习题3-6 198

第七节 平面曲线的曲率 199

一、弧微分 199

二、曲率的概念 200

三、曲率的计算 202

四、曲率半径与曲率圆 204

习题3 -7 205

第二篇复习指导与自测 206

第三篇 一元函数积分学 213

第四章 不定积分 213

第一节 不定积分的概念与性质 213

一、原函数与不定积分的概念 213

二、不定积分的性质 218

三、基本积分表 219

四、直接积分法 220

习题4-1 223

第二节 换元积分法 224

一、第一类换元积分法（凑微分法） 224

二、第二类换元积分法 230

习题4-2 235

第三节 分部积分法 237

习题4-3 243

第五章 定积分 244

第一节 定积分的概念与性质 244

一、引例 244

二、定积分的定义 247

三、定积分的性质 249

四、定积分的几何意义 252

习题5-1 255

第二节 微积分基本公式 256

一、再论变速直线运动的路程 256

二、积分上限函数及其导数 257

三、牛顿-莱布尼茨公式 261

习题5 -2 265

第三节 定积分的换元积分法和分部积分法 266

一、定积分的换元积分法 266

二、定积分的分部积分法 270

习题5-3 273

第四节 广义积分 274

一、无穷限广义积分 274

二、无界函数的广义积分 278

习题5-4 281

第五节 定积分的应用 282

一、定积分的微元法 282

二、定积分的几何应用 284

三、定积分的物理应用 294

习题5-5 300

第三篇复习指导与自测 303

第四篇 常微分方程 311

第六章 常微分方程 311

第一节 微分方程的基本概念 311

一、引例 311

二、基本概念 313

习题6-1 317

第二节 可分离变量的微分方程 318

一、可分离变量微分方程的概念和解法 318

二、可分离变量微分方程应用举例 320

习题6-2 323

第三节 一阶线性微分方程 324

一、一阶线性方程的概念和解法 324

二、一阶线性微分方程应用举例 328

习题6-3 330

第四节 可利用变量代换求解的一阶微分方程 331

一、齐次方程的解法 331

二、伯努利方程的解法 333

三、可利用变量代换求解的其他一阶微分方程举例 334

习题6-4 335

第五节 可降阶的高阶微分方程 335

一、y（n）=f（x）型 335

二、y″ =f（x，y′）型 336

三、y″ =f（y，y′）型 337

四、二阶可降阶微分方程应用举例 338

习题6-5 342

第六节 二阶线性微分方程解的结构 343

一、二阶线性微分方程的概念 343

二、二阶齐次线性微分方程解的结构 344

三、二阶非齐次线性微分方程解的结构 346

习题6-6 348

第七节 二阶常系数齐次线性微分方程 348

一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解 348

二、n阶常系数齐次线性微分方程的通解 351

习题6-7 352

第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程 352

一、f（x）=eλx Pm（x）型 353

二、f（x）=eλx[P1（x）cosωx+Pn（x）sinωx]型 356

三、应用举例 358

习题6-8 364

第四篇复习指导与自测 366

利用微分方程模型求解数学建模问题——饮酒驾车 369

附录一 参数方程与极坐标 376

附录二 常用初等数学公式 383

附录三 常用曲线及其方程 387

习题答案 391

第一篇 函数、极限与连续 391

第一章 391

第一篇 本篇测试 393

第二篇 一元函数微分学 394

第二章 394

第三章 398

第二篇 本篇测试 402

第三篇 一元函数积分学 403

第四章 403

第五章 406

第三篇 本篇测试 409

第四篇 常微分方程 410

第六章 410

第四篇 本篇测试 414