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Ⅰ 集合论概述 2

第1章 集合的基本概念 2

1.1 集合的表示 2

1.2 集合的子集 3

1.3 笛卡儿积 4

1.4 集合的运算 5

1.5 罗素悖论 7

习题 9

第2章 关系 11

2.1 二元关系 11

2.2 关系的性质 13

2.3 关系的运算 14

2.4 关系数据库的一个实例 17

2.5 关系的闭包 20

2.6 等价关系与划分 23

2.7 次序关系 27

习题 29

第3章 函数 34

3.1 函数的基本概念 34

3.2 逆函数与复合函数 35

3.3 集合的特征函数 37

习题 38

第4章 无限集 41

4.1 集合的递归定义与自然数集合 41

4.2 基数 46

4.3 可列集与不可列集 48

4.4 基数的比较 51

习题 54

Ⅱ 组合数学初步 58

第5章 鸽笼原理 58

5.1 鸽笼原理的简单形式 58

5.2 鸽笼原理的加强形式 59

习题 61

第6章 排列与组合 62

6.1 基本计数原理 62

6.2 集合的排列 62

6.3 集合元素的组合 64

6.4 多重集的排列和组合 67

6.5 容斥原理 69

习题 71

第7章 生成函数与递推关系 74

7.1 幂级数型生成函数 74

7.2 指数型生成函数 77

7.3 递推关系 78

习题 84

Ⅲ 图论 88

第8章 图的基本概念 88

8.1 引言 88

8.2 路与回路 92

8.3 欧拉图 96

8.4 哈密顿图 98

8.5 最短路 101

8.6 图论模型初步 103

习题 105

第9章 平面图与图的着色 108

9.1 平面图与欧拉公式 108

9.2 顶点着色 110

9.3 平面图的着色 111

9.4 边的着色 113

习题 114

第10章 树 116

10.1 树及其性质 116

10.2 生成树与割集 117

10.3 最小生成树 119

10.4 树的计数 121

10.5 有根树与二分树 122

10.6 最优树 123

习题 125

第11章 连通度、网络、匹配与Petri网 127

11.1 连通度与块 127

11.2 网络最大流 129

11.3 二分图的匹配 133

11.4 独立集、覆盖 137

11.5 Petri网 139

习题 140

Ⅳ 代数结构 144

第12章 代数结构预备知识 144

12.1 代数系统 144

12.2 同态、同构与商系统 146

12.3 代数系统［Z;+,·］ 148

习题 149

第13章 群 151

13.1 半群、拟群与群 151

13.2 变换群、置换群与循环群 155

13.3 子群、正规子群与商群 164

13.4 群的同态与同态基本定理 168

习题 170

第14章 环 174

14.1 环的定义与性质 174

14.2 子环与环同态 177

14.3 多项式环 179

14.4 理想与商环 183

14.5 整环与分式域 187

习题 190

第15章 域 195

15.1 扩域 195

15.2 代数元与根域 199

15.3 有限域 202

15.4 本原元与本原多项式 204

习题 207

第16章 格与布尔代数 209

16.1 偏序与格 209

16.2 有补格及分配格 214

16.3 布尔格与布尔代数 217

习题 219

Ⅴ 数理逻辑 224

第17章 数理逻辑预备知识 224

17.1 命题和联结词 224

17.2 泛代数 225

习题 229

第18章 命题逻辑 230

18.1 命题代数 230

18.2 命题演算的语义 231

18.3 命题演算的形式 235

18.4 一般逻辑系统 237

18.5 命题演算的性质 238

习题 240

第19章 谓词逻辑 243

19.1 谓词代数 243

19.2 谓词公式语义解释 246

19.3 谓词演算的形式证明 249

19.4 前束范式 252

19.5 谓词演算的性质 253

习题 256

参考文献 259