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第1章 函数 1

本章学习目标 1

1.1 函数及其性质 1

1.1.1 函数的概念 1

1.1.2 函数的几种特性 2

习题1.1 3

1.2.3 初等函数 4

1.2.2 复合函数 4

1.2.1 基本初等函数 4

1.2 初等函数 4

1.2.4 反函数与隐函数 5

习题1.2 6

本章小结 6

复习题1 7

自测题1 7

2.1.1 数列的极限 8

2.1 极限的概念 8

本章学习目标 8

第2章 极限与连续 8

2.1.2 函数的极限 9

2.1.3 极限的性质 11

2.1.4 无穷小量与无穷大量 11

习题2.1 12

2.2 极限的运算 13

2.2.1 极限的运算法则 13

2.2.2 两个重要极限 14

2.2.3 无穷小的比较 16

习题2.2 17

2.3 函数的连续性 18

2.3.1 函数的连续性概念 18

2.3.2 初等函数的连续性 21

2.3.3 闭区间上连续函数的性质 21

习题2.3 22

本章小结 22

自测题2 23

复习题2 23

第3章 导数与微分 25

本章学习目标 25

3.1 导数的概念 25

3.1.1 导数概念的引例 25

3.1.2 导数的概念与几何意义 26

3.1.3 可导与连续的关系 29

习题3.1 29

3.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 30

3.2 求导法则 30

3.2.2 复合函数的导数 32

3.2.3 反函数的求导法则 32

3.2.4 初等函数的导数 33

3.2.5 隐函数和由参数方程所确定的函数的导数 35

3.2.6 高阶导数 36

习题3.2 37

3.3 微分 37

3.3.1 微分的概念 37

3.3.3 微分的运算法则 39

3.3.2 微分的几何意义 39

3.3.4 微分在近似计算中的应用 40

习题3.3 41

本章小结 42

复习题3 42

自测题3 43

4.1 微分中值定理 44

4.1.2 拉格朗日中值定理 44

4.1.1 罗尔中值定理 44

本章学习目标 44

第4章 导数的应用 44

习题4.1 45

4.2 洛必达法则 46

习题4.2 48

4.3 函数的单调性、极值和最值 48

4.3.1 函数的单调性 48

4.3.2 函数的极值 49

4.3.3 函数的最大值和最小值 51

4.4 曲线的凹凸性与拐点 53

习题4.3 53

习题4.4 55

4.5 函数图形的描绘 55

习题4.5 56

4.6 曲率 56

4.6.1 曲率的概念 57

4.6.2 弧微分 57

4.6.3 曲率的计算公式 57

本章小结 58

复习题4 59

自测题4 60

第5章 不定积分 61

本章学习目标 61

5.1 不定积分的概念与性质 61

5.1.1 不定积分的概念 61

5.1.2 基本积分公式 63

5.1.3 不定积分的性质 64

习题5.1 65

5.2.1 第一类换元积分法(凑微分法) 66

5.2 不定积分的积分方法 66

5.2.2 第二类换元积分法 68

5.2.3 分部积分法 70

5.2.4 单有理函数的积分 72

5.2.5 积分表的使用 75

习题5.2 75

本章小结 77

复习题5 77

测试题5 78

6.1 定积分的概念与性质 79

6.1.1 引出定积分概念的实例 79

第6章 定积分 79

本章学习目标 79

6.1.2 定积分的概念 81

6.1.3 定积分的几何意义 82

6.1.4 定积分的基本性质 82

习题6.1 84

6.2.1 变上限的定积分 85

6.2 定积分基本公式 85

6.2.2 微积分学基本定理 86

习题6.2 87

6.3 定积分的积分方法 88

6.3.1 定积分的换元积分法 88

6.3.2 定积分的分部积分法 91

习题6.3 93

6.4 广义积分 93

6.4.1 无穷区间上的积分 94

6.4.2 无界函数的积分 95

习题6.4 97

本章小结 97

复习题6 98

自测题6 99

第7章 定积分的应用 100

本章学习目标 100

7.1 定积分的几何应用 100

7.1.1 定积分的微元法 100

7.1.2 用定积分求平面图形的面积 101

7.1.3 用定积分求体积 104

7.1.4 平面曲线的弧长 107

习题7.1 108

7.2 定积分在物理学中的应用 108

7.2.1 功 108

7.2.2 液体的压力 109

习题7.2 110

本章小结 110

复习题7 111

自测题7 112

第8章 常微分方程 114

本章学习目标 114

8.1 常微分方程的基本概念 114

习题8.1 116

8.2 一阶微分方程与可降阶的高阶微分方程 116

8.2.1 可分离变量的微分方程 116

8.2.2 齐次型微分方程 118

8.2.3 一阶线性微分方程 119

8.2.4 可降阶的高阶微分方程 120

习题8.2 122

8.3 二阶常系数线性微分方程 123

8.3.1 二阶线性微分方程解的结构 123

8.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 125

8.3.3 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 126

习题8.3 130

8.4 微分方程的应用 130

8.4.1 一阶微分方程的应用 131

8.4.2 二阶微分方程的应用 132

习题8.4 134

本章小结 134

复习题8 135

测试题8 135

第9章 空间解析几何与向量代数 136

本章学习目标 136

9.1 空间直角坐标系与向量的概念 136

9.1.1 空间直角坐标系 136

9.1.2 向量的概念及其线性运算 138

9.1.3 向量的坐标表示 140

习题9.1 141

9.2 向量的数量积与向量积 142

9.2.1 向量的数量积 142

9.2.2 向量的向量积 143

习题9.2 145

9.3 平面与直线 145

9.3.1 平面的方程 145

9.3.2 直线的方程 149

9.3.3 平面、直线的位置关系 150

习题9.3 152

9.4 曲面与空间曲线 153

9.4.1 曲面方程的概念 153

9.4.2 球面 153

9.4.3 柱面 154

9.4.4 旋转曲面 155

9.4.5 几种常见的二次曲面 156

9.4.6 空间曲线 160

习题9.4 162

本章小结 163

复习题9 163

测试题9 164

第10章 多元函数微分学 166

本章学习目标 166

10.1 多元函数的概念、极限与连续 166

10.1.1 多元函数的概念 166

10.1.2 二元函数的极限与连续 168

习题10.1 170

10.2 偏导数 170

10.2.1 偏导数 170

10.2.2 高阶偏导数 172

习题10.2 173

10.3 全微分 174

10.3.1 全微分的定义 174

10.3.2 全微分在近似计算中的应用 175

习题10.3 176

10.4 多元复合函数与隐函数的微分法 177

10.4.1 多元复合函数的微分 177

10.4.2 隐函数微分法 179

习题10.4 180

10.5 偏导数在几何上的应用 181

10.5.1 空间曲线的切线与法平面 181

10.5.2 曲面的切平面与法线 182

10.6.1 二元函数的极值 184

10.6 二元函数的极值 184

习题10.5 184

10.6.2 二元函数的最大值与最小值 185

10.6.3 条件极值 186

习题10.6 187

本章小结 188

复习题10 188

自测题10 189

11.1 二重积分的概念与性质 190

11.1.1 二重积分的概念 190

本章学习目标 190

第11章 多元函数积分学 190

11.1.2 二重积分的几何意义 193

11.1.3 二重积分的性质 193

习题11.1 194

11.2 二重积分的计算 195

11.2.1 在直角坐标系下计算二重积分 195

11.2.2 利用极坐标计算二重积分 197

习题11.2 199

11.3 二重积分的应用 200

11.3.1 求空间立体的体积 200

11.3.2 求曲面的面积 202

11.3.3 求平面薄片的重心 202

习题11.3 203

本章小结 203

复习题11 204

测试题11 205

12.1.1 无穷级数的概念 206

12.1 无穷级数的概念与性质 206

第12章 级数 206

本章学习目标 206

12.1.2 无穷级数的性质 207

习题12.1 208

12.2 正项级数及其敛散性 209

12.2.1 正项级数及其收敛的充要条件 209

12.2.2 正项级数收敛的比较判别法 209

12.2.3 正项级数收敛的比值判别法 210

习题12.2 211

12.3 绝对收敛与条件收敛 211

12.3.1 交错级数及其敛散性 211

12.3.2 绝对收敛与条件收敛 212

习题12.3 213

12.4 幂级数 214

12.4.1 幂级数的收敛半径与收敛域 214

12.4.2 幂级数的运算 216

习题12.4 217

12.5.1 泰勒公式 218

12.5 函数展开成幂级数 218

12.5.2 初等函数的幂级数展开式 219

12.5.3 幂级数的应用 220

习题12.5 222

12.6 傅立叶级数 222

12.6.1 三角函数系的正交性 222

12.6.2 以2π为周期的函数f(x)展开成傅立叶(Fourier)级数 223

本章小结 225

12.6.3 以2L为周期的函数f(x)展开成傅立叶级数 225

复习题12 227

测试题12 228

第13章 Mathematica数学软件简介 229

本章学习目标 229

13.1 Mathematica基础 229

13.1.1 Mathematica的主要特点和功能 229

13.1.2 数、变量、函数 230

13.2.1 化简计算结果 232

13.2.2 常用的因式分解函数 232

13.2 代数运算 232

13.3 微积分 233

13.3.1 求极限 233

13.3.2 求导数 234

13.3.3 求极值 235

13.3.4 求不定积分 235

13.3.5 求定积分 236

13.3.6 解常微分方程 236

13.3.7 无穷级数 237

14.1 二维图形 238

14.1.1 一元函数的图形 238

第14章 利用Mathematica作图 238

本章学习目标 238

14.1.2 二维参数图形 240

14.2 三维图形 241

14.2.1 二元函数的图形 241

14.2.2 三维参数图形 242

附录 积分表 246

习题参考答案 252

参考文献 264