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目录 1

第一章　数学建模入门 1

1.1 从现实对象到数学模型 1

1.1.1　原型和模型 1

1.1.2　数学模型 1

1.1.3　数学模型的分类方法 2

1.1.4　数学建模的过程 2

1.1.5　问题分析 2

1.1.6　合理假设 3

1.1.7　模型构造 3

1.1.8　模型求解和检验 3

1.1.9　在数学建模学习中一般应注意的几个方面 4

1.2 数学建模示例 7

1.2.1　椅子问题 7

1.2.2　商人安全过河 8

1.2.3　划艇比赛问题 9

1.2.4　物价指数模型 11

1.3 两个重要数学模型的建立 14

1.3.1　万有引力定律的发现 14

1.3.2　传染病的传播 16

习题一 20

第二章　微分方程模型 22

2.1 微分（差分）方程基本知识 22

2.1.1　线性差分方程 22

2.1.2　差分方程的平衡点及其 25

稳定性 25

2.1.3　微分方程稳定性理论 25

2.2 动物群体的生态模型 28

2.2.1　单种群增长模型 28

2.2.2　生物群体的竞争排斥模型 30

2.3 经济模型 32

2.3.1　基本概念 32

2.3.2　最优积累率问题 35

2.3.3　广告模型 37

2.4 汽车交通流 38

2.4.1　宏观交通流模型 39

2.4.2　微观模型——线性汽车 40

跟随模型 40

2.5 药物分布的房室模型 42

2.5.1　模型假设 43

2.5.2　模型建立 43

2.5.3　参数估计 45

2.6 为什么采用三级火箭 45

发射卫星 45

2.6.1　单级火箭发射的可行性 45

2.6.2　多级火箭系统 47

2.7 最优捕鱼策略 48

2.7.1　问题的提出 48

2.7.3　问题分析 49

2.7.2　问题重述 49

2.7.4　基本假设 50

2.7.5　模型建立 50

2.8 用MATLAB解微分方程 52

2.8.1　微分方程（组）的解析解 52

2.8.2　微分方程（组）的数值解 53

2.9 实例分析——油气产量和可 56

开采储量的预测问题 56

2.9.3　建立模型 57

2.9.1　问题的提出 57

2.9.2　模型假设 57

2.9.4　求解过程 58

2.9.5　结果分析 59

习题二 60

第三章　线性规划问题 64

3.1 线性规划问题的数学模型 64

3.1.1　实例 64

3.1.3　将一般线性规划化为标准形式 66

3.1.2　标准形式 66

3.1.4　线性规划的图解法 67

3.2 单纯形法 70

3.2.1　基本单纯形法 70

3.2.2　单纯形表 72

3.2.3　求解线性规划的两阶 76

段方法 76

3.3 用LINGO软件包求解线性 80

规划问题 80

3.3.1　求解线性规划问题 80

3.3.2　灵敏度分析 82

3.3.3　有界线性规划问题 83

3.3.4　整数规划 84

3.3.5　0-1规划 84

3.4 线性规划问题的应用 85

3.4.1　投资问题 85

3.4.2　装货问题 87

3.4.3　疏散问题 90

习题三 93

第四章　动态规划 97

4.1 最短路问题与动态规划的 97

基本思想 97

4.1.1　最短路问题 97

4.1.2　问题的求解 98

4.1.3　Bellman最优化原理 100

4.2　资源分配问题 101

4.3　背包问题 105

4.4 多阶段生产安排问题 107

4.5 用LINGO软件求解动态 108

规划问题 108

4.5.1　最短路问题 108

4.5.2　投资分配问题 109

4.5.3　背包问题 110

习题四 111

第五章　最优化模型 112

5.1 最优化问题的数学模型 112

5.1.1　无约束最优化问题 112

5.1.2　约束最优化问题 114

5.1.3　求解最优化问题的图解法 116

5.2 一维搜索 117

5.2.1　0.618法 118

5.2.2　三点二次插值 120

5.2.3　二点二次插值 122

5.3 求解无约束问题的下降算法 123

5.3.1　最速下降法 123

5.3.2 Newton法 125

5.3.3 变度量法 127

5.3.4　共轭梯度法 130

5.4　惩罚函数法 133

5.5.2　求解约束最优化问题 136

5.5.1　求解无约束最优化问题 136

优化问题 136

5.5 用LINGO软件包求解最 136

5.5.3　求解二次规划问题 137

5.5.4　最优化问题的应用——曲线拟合问题 138

5.6 实例分析——飞行管理 140

问题 140

5.6.1　飞行管理问题 140

5.6.2　数学模型的建立 140

5.6.3　问题的求解 141

习题五 142

第六章　图论与网络模型 145

6.1 图的基本概念 145

6.1.1　从K？nigsberg（哥尼斯堡）七桥问题谈起 145

6.1.2　图的基本概念 145

6.1.3　连通性 148

6.1.4　最短路问题 149

6.2.2　Hamilton（哈密顿）圈 151

6.2 Euler环游和Hamilton圈 151

6.2.1　Euler环游 151

6.2.3　中国邮递员问题 152

6.2.4　旅行商问题 152

6.2.5　工件排序问题 153

6.2.6　竞赛参加者名次的排列 153

6.3 树和生成树 155

6.3.1　树 155

6.3.2　无向生成树 156

6.3.3　连线问题 156

6.4 最大匹配 157

6.4.1　定义与问题的描述 157

6.4.2　最优匹配算法 158

6.4.3　例子 161

6.5 最大流问题 164

6.5.1　定义与问题的描述 164

6.5.2　主要结果和算法 166

6.5.3　例子 169

6.6 用LINGO软件包求解组合 172

优化问题 172

6.6.1　运输问题 172

6.6.2　最优指派（最优匹配）问题 173

6.6.3　最优连线问题 175

6.6.4　旅行商问题 177

6.6.5　最短路问题 178

6.7 实例分析—通讯网络的最小 180

生成树 180

6.7.1　通讯网络的最小生成树 180

6.7.2　问题的分析与求解 181

习题六 184

第七章 实用统计分析方法 190

7.1 概率论初步 190

7.1.1　概率 190

7.1.2　随机变量 191

7.1.3　常用的分布 193

7.2 参数估计 195

7.2.1　点估计 195

7.2.2　估计量的优良性准则 200

7.2.3　区间估计 203

7.3 假设检验 208

7.3.1 正态总体均值的假设检验 209

7.3.2 正态总体方差的假设检验 212

7.4 回归分析 214

7.4.1　一元线性回归 214

7.4.2　多元线性回归分析 219

7.4.3　逐步回归 222

7.5 方差分析 226

7.5.1　单因素方差分析 226

7.5.2　双因素方差分析 231

7.6.1　距离判别 236

7.6 判别分析 236

7.6.2　Fisher判别 241

7.7 实例分析——气象观察站 244

的优化 244

7.7.1　问题的提出 244

7.7.2　假设 244

7.7.3　分析 245

7.7.4　问题的求解 245

习题七 249

第八章　计算机模拟 254

8.1 概率分析与Monte Carlo方法 254

8.1.1　概率分析 254

8.1.2　Monte Carlo方法 255

8.1.3　Monte Carlo方法的精度分析 257

8.2 随机数的产生 259

8.2.1　均匀分布随机数的产生 259

8.2.2　均匀分布随机数的检验 260

8.2.3　任意分布随机数的产生 261

8.2.4 正态分布随机数的产生 262

8.2.5　用R软件生成随机数 263

8.3 系统模拟 263

8.3.1　连续系统模拟 264

8.3.2　离散系统模拟 264

8.4 实例分析——倒煤台的操作 268

方案 268

8.4.1　问题的提出 269

8.4.2　问题的分析 269

8.4.3　问题的求解 269

习题八 271

第九章 LINGO软件包的使用 272

9.1 LINGO软件简介 272

9.1.1 从一个例子说起 272

9.1.2 LINGO窗口命令 274

9.1.3 LINGO函数 276

9.2 LINGO软件中集的使用 278

9.2.1 集（set）的使用 278

9.2.2 访问集中的元素与＠FOR函数 279

9.2.3 生成集 282

9.3 LINGO软件中数据的调用与数据初始化 288

9.3.1 数据段（DATA section） 288

9.3.2 初始段（INIT section） 290

9.3.3 用＠FILE函数引入数据文件 291

9.4 LINGO软件中使用变量域 292

函数 292

9.4.1 整数变量 292

9.4.2 自由变量和简单有界变量 296

第十章 R软件包的使用 298

10.1 R软件简介 298

10.2.2　向量的算术运算 299

10.2.1 向量与指派 299

与矩阵 299

10.2 简单操作：数字、向量 299

10.2.3　产生有规律的序列 300

10.2.4　逻辑变量 300

10.2.5　矩阵 301

10.2.6　矩阵的运算 302

10.2.7　与矩阵运算有关的函数 305

10.3.1　read.table（）函数 307

10.3 从文件中读数据 307

10.3.2　scan（）函数 308

10.3.3　链接嵌入的数据库 308

10.3.4　编辑数据 309

10.4 概率分布 309

10.4.1　各种概率分布函数 309

10.4.2　检验数据集的分布 310

10.4.3　单样本和双样本检验 313

10.5.1　if语句 315

10.5 循环与条件执行语句 315

10.5.2　for循环 316

10.5.3　repeat语句和while语句 316

10.6 写你自己的函数 316

10.6.1　简单的例子 316

10.6.2　定义新的二元运算 317

10.6.3　有名参数与省缺 317

10.6.4　进一步的例子 318

10.7 R中的统计模型 320

10.7.1　定义统计模型与公式 320

10.7.2　线性模型 322

10.7.3　提取模型信息的通用函数 322

10.7.4　方差分析与模型比较 323

10.7.5　修正拟合模型 323

10.7.6　广义线性模型 324

10.7.7　非线性最小二乘和极大似然模型 328

参考文献 331