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第一章 函数、极限与连续 1

第一节 函数与极坐标 1

一、区间和邻域 1

二、函数的概念 2

三、初等函数 3

四、函数的性质 4

五、参数方程 5

六、极坐标 6

第二节 函数的极限 8

一、数列的极限 8

二、函数的极限 9

三、函数极限的性质 11

第三节 极限的运算法则 12

一、无穷小 12

二、无穷大 12

三、函数极限的四则运算 12

四、复合函数的极限运算法则 14

第四节 重要极限无穷小的比较 16

一、极限存在准则 16

二、两个重要极限 16

三、无穷小的比较 19

第五节 连续函数 20

一、函数的连续性 20

二、函数的间断点 22

三、初等函数的连续性 22

四、闭区间上连续函数的性质 23

第六节 用Mathematica求极限 25

总习题一 26

第二章 导数与微分 28

第一节 导数的概念 28

一、引例 28

二、导数的定义 28

三、导数的几何意义 31

四、可导与连续的关系 31

第二节 函数的求导法则 32

一、函数的和、差、积、商的求导法则 32

二、反函数的求导法则 33

三、复合函数的求导法则 34

四、基本导数公式和求导法则 35

第三节 隐函数及参数方程所确定的函数的导数 37

一、隐函数的导数 37

二、参数方程所确定函数的导数 39

第四节 高阶导数 40

第五节 函数的微分 42

一、微分的定义 42

二、基本微分公式与微分运算法则 44

三、微分在近似计算中的应用 45

第六节 用Mathematica求导数 46

总习题二 46

第三章 微分中值定理与导数的应用 48

第一节 微分中值定理 48

第二节 洛必达法则 51

第三节 函数的单调性与极值 54

一、函数的单调性 54

二、函数的极值 55

三、函数的最值 57

第四节 曲线的凹凸性与拐点以及绘图 59

一、曲线的凹凸性与拐点 59

二、函数图形的描绘 60

第五节 曲率 62

一、弧微分 62

二、曲率 63

第六节 用Mathematica做导数应用题 64

总习题三 66

第四章 不定积分 68

第一节 不定积分的概念与性质 68

一、原函数与不定积分的概念 68

二、基本性质 70

三、基本积分表 70

第二节 换元积分法 72

一、第一类换元积分法 72

二、第二类换元法 77

第三节 分部积分法 80

总习题四 83

第五章 定积分及其应用 85

第一节 定积分的概念与性质 85

一、引例 85

二、定积分的定义 86

三、定积分的几何意义 87

四、定积分的性质 87

第二节 微积分基本公式 89

一、积分上限函数 89

二、微积分基本公式 90

第三节 定积分的换元积分法和分部积分法 92

一、定积分的换元积分法 92

二、分部积分法 95

第四节 广义积分 97

一、无穷区间的广义积分 97

二、无界函数的广义积分 98

第五节 定积分的应用 99

一、微元法 99

二、定积分的几何应用 100

三、定积分的物理应用 103

第六节 用Mathematica计算一元函数的积分 105

总习题五 106

第六章 微分方程 108

第一节 微分方程的概念 108

第二节 一阶微分方程 109

一、可分离变量的微分方程 109

二、齐次方程 111

三、一阶线性微分方程 113

第三节 可降阶的高阶微分方程 116

一、y（n）＝f（x）型 116

二、y″＝f（x,y′）型 117

三、y″＝f（y,y′）型 118

第四节 二阶常系数线性微分方程 120

一、二阶线性微分方程解的结构 120

二、二阶常系数线性齐次方程 121

三、二阶常系数线性非齐次方程 123

第五节 用Mathematica解常微分方程 128

总习题六 129

第七章 空间解析几何与向量代数 131

第一节 空间直角坐标系与向量 131

一、空间直角坐标系 131

二、向量 132

第二节 向量的数量积与向量积 134

一、向量的数量积 134

二、向量的向量积 137

第三节 空间平面与直线 139

一、空间平面方程 139

二、空间直线方程 141

第四节 空间中点、线、面的关系 144

一、夹角问题 144

二、距离问题 146

第五节 空间曲面与空间曲线 149

一、空间曲面 149

二、空间曲线 151

第六节 用Mathematica进行向量运算和作三维图形 153

总习题七 156

第八章 多元函数微分法及其应用 158

第一节 多元函数的基本概念 158

一、二元函数的定义域与几何意义 158

二、二元函数的极限与连续 159

三、有界闭区域上连续函数的性质 161

第二节 偏导数与全微分 161

一、二元函数的偏导数 162

二、二元函数的全微分 164

第三节 链锁规则与隐函数求导 167

一、链锁规则 167

二、隐函数求导 169

第四节 高阶偏导数 171

一、高阶偏导数 171

二、全微分形式不变性 172

第五节 多元函数的应用 173

一、多元函数的几何应用 173

二、二元函数的极值 175

第六节 用Mathematica求偏导数与多元函数的极值 178

总习题八 179

第九章 多元函数积分学 180

第一节 二重积分的概念和性质 180

一、曲顶柱体的体积 180

二、二重积分的定义 180

三、二重积分存在的充分条件 181

四、二重积分的性质 181

第二节 二重积分的计算 183

一、利用直角坐标计算二重积分 184

二、利用极坐标计算二重积分 186

第三节 二重积分的应用 188

一、几何应用 188

二、物理应用 189

第四节 用Mathematica计算重积分 191

总习题九 192

第十章 无穷级数 194

第一节 无穷级数的概念和性质 194

一、级数的一般概念 194

二、常数项级数的基本性质 195

第二节 数项级数的审敛法 197

一、正项级数 197

二、交错级数 200

三、条件收敛与绝对收敛 201

第三节 幂级数 202

一、幂级数的收敛域 202

二、幂级数的运算 203

三、函数展开成幂级数 205

第四节 傅里叶级数 207

一、欧拉-傅里叶公式与狄利克雷条件 208

二、周期为2l的函数的傅里叶展开 210

第五节 用Mathematica进行级数运算 211

总习题十 212

第十一章 数学文化 213

第一节 数学是什么 213

一、数学是一种文化 213

二、数学的特点 213

三、数学与其他 215

第二节 数学之美 216

一、和谐统一美 216

二、简单美 217

三、对称美 218

四、奇异美 218

第三节 数学素养 220

第四节 趣味数学 221

习题答案 223

附录Ⅰ 积分表 238

附录Ⅱ 常用平面曲线及其方程 248

数学家简介 250