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第1章 函数 1

1.1 实数、区间与绝对值 1

1.1.1 实数 1

1.1.2 区间与邻域 1

1.1.3 绝对值 2

习题1.1 3

1.2 函数的概念及其图形 4

1.2.1 常量与变量 4

1.2.2 函数概念 4

1.2.3 函数图形 7

习题1.2 9

1.3 函数的几种特性 10

1.3.1 有界性 10

1.3.2 单调性 10

1.3.3 奇偶性 11

1.3.4 周期性 12

习题1.3 13

1.4 反函数与复合函数 13

1.4.1 反函数 13

1.4.2 复合函数 15

习题1.4 16

1.5 基本初等函数与初等函数 17

1.5.1 基本初等函数 17

1.5.2 初等函数 19

习题1.5 20

1.6 本章小结 20

1.6.1 内容提要 20

1.6.2 基本要求 21

综合练习题 22

第2章 极限与连续 24

2.1 数列极限 24

2.1.1 数列 24

2.1.2 数列极限的概念 25

2.1.3 收敛数列的性质 27

习题2.1 28

2.2 函数的极限 29

2.2.1 函数极限的概念 29

2.2.2 函数极限的性质 33

习题2.2 34

2.3 无穷小与无穷大 34

2.3.1 无穷小的概念与性质 34

2.3.2 无穷大 35

习题2.3 37

2.4 极限的运算法则 37

2.4.1 四则运算法则 37

2.4.2 复合运算法则 40

习题2.4 42

2.5 极限存在准则与两个重要极限 42

2.5.1 极限存在准则Ⅰ 42

2.5.2 重要极限Ⅰ 43

2.5.3 极限存在准则Ⅱ 45

2.5.4 重要极限Ⅱ 46

习题2.5 47

2.6 无穷小的比较 48

习题2.6 49

2.7 函数的连续性 50

2.7.1 函数连续性的概念与函数的间断点 50

2.7.2 连续函数的运算性质及初等函数的连续性 55

2.7.3 闭区间上连续函数的性质 57

习题2.7 59

2.8 本章小结 60

2.8.1 内容提要 60

2.8.2 基本要求 61

综合练习题 62

第3章 导数与微分 65

3.1 导数概念 65

3.1.1 引出导数概念的两个著名问题 65

3.1.2 导数的定义 67

3.1.3 导数的几何意义 69

3.1.4 单侧导数 70

3.1.5 函数可导性与连续性的关系 71

习题 3.1 73

3.2 基本初等函数的求导公式与求导法则 74

3.2.1 基本初等函数求导公式之一 74

3.2.2 函数的和、差、积、商的求导法则 76

3.2.3 基本初等函数求导公式之二 78

3.2.4 反函数的求导法则 79

3.2.5 基本初等函数求导公式之三 79

3.2.6 复合函数的求导法则 80

习题3.2 83

3.3 高阶导数 84

3.3.1 高阶导数的概念 84

3.3.2 常见函数的n阶求导公式 85

3.3.3 函数乘积的n阶导数的莱布尼兹公式 87

3.3.4 含抽象函数的导数 88

习题3.3 89

3.4 隐函数及由参数方程表示的函数求导法 90

3.4.1 隐函数求导法则 90

3.4.2 由参数方程所确定的函数的求导法 92

习题3.4 94

3.5 函数的微分及其应用 95

3.5.1 微分的概念及函数可微与可导的关系 96

3.5.2 微分的运算公式与法则 98

3.5.3 微分的应用 100

习题3.5 102

3.6 本章小结 103

3.6.1 内容提要 103

3.6.2 基本要求 105

综合练习题 106

第4章 微分中值定理与导数的应用 108

4.1 微分中值定理 108

4.1.1 罗尔定理及简单应用 108

4.1.2 拉格朗日中值定理及简单应用 111

4.1.3 柯西中值定理 115

习题4.1 116

4.2 未定式极限的计算（罗必塔法则） 117

4.2.1 两个无穷小之比的极限（0/0型） 117

4.2.2 两个无穷大量之比的极限（∞/∞型） 119

4.2.3 其他类型的未定式 121

习题4.2 123

4.3 泰勒公式 124

4.3.1 一阶泰勒公式 125

4.3.2 n阶泰勒公式 126

4.3.3 常见函数的n阶麦克劳林公式举例 127

4.3.4 泰勒公式在近似计算中的应用 129

习题4.3 130

4.4 函数的单调性与极值 130

4.4.1 函数单调性的判定法及其应用 130

4.4.2 函数的极值与最大最小值问题 134

习题4.4 140

4.5 函数曲线的凹凸性、拐点及函数作图 141

4.5.1 曲线的凹凸性与拐点 141

4.5.2 曲线的渐近线 144

4.5.3 函数作图 145

习题4.5 148

4.6 弧微分与曲率 148

4.6.1 弧微分 148

4.6.2 曲率 149

习题4.6 151

4.7 本章小结 151

4.7.1 内容提要 151

4.7.2 基本要求 153

综合练习题 153

第5章 不定积分 156

5.1 不定积分的概念和性质 156

5.1.1 原函数和不定积分的概念 156

5.1.2 基本积分表 159

5.1.3 不定积分的性质 160

习题5.1 161

5.2 换元积分法 162

5.2.1 第一换元法 162

5.2.2 第二换元法 165

习题5.2 168

5.3 分部积分法 170

习题5.3 173

5.4 有理函数的积分 174

5.4.1 有理函数的分解 174

5.4.2 有理函数积分举例 176

5.4.3 可化为有理函数积分的简单无理函数积分举例 178

习题5.4 179

5.5 本章小结 180

5.5.1 内容提要 180

5.5.2 基本要求 182

综合练习题 182

第6章 定积分 184

6.1 定积分的概念 184

6.1.1 定积分问题举例 184

6.1.2 定积分的定义 186

6.1.3 定积分的几何意义 188

6.1.4 定积分的性质 188

习题6.1 191

6.2 微积分基本公式 191

6.2.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的关系 191

6.2.2 积分上限的函数及其导数 192

6.2.3 牛顿一莱布尼兹公式 193

习题6.2 195

6.3 定积分的换元法 196

习题6.3 200

6.4 定积分的分部积分法 201

习题6.4 202

6.5 广义积分 202

6.5.1 积分区间为无穷区间的广义积分 202

6.5.2 被积函数有无穷间断点的广义积分 204

习题6.5 206

6.6 定积分应用举例 207

6.6.1 定积分的元素法 207

6.6.2 平面图形的面积 208

6.6.3 旋转体的体积 214

6.6.4 平面曲线的弧长 216

6.6.5 变力沿直线所作的功 218

6.6.6 函数的平均值 219

习题6.6 221

6.7 本章小结 222

6.7.1 内容提要 222

6.7.2 基本要求 226

综合练习题 226

第7章 微分方程 229

7.1 微分方程的基本概念 229

7.1.1 微分方程的定义 230

7.1.2 微分方程的阶 230

7.1.3 微分方程的解 231

习题7.1 233

7.2 可分离变量的微分方程 234

习题7.2 236

7.3 齐次微分方程 237

习题7.3 240

7.4 一阶线性微分方程 240

7.4.1 一阶线性方程 240

7.4.2 伯努利（Bernoulli）方程 242

习题7.4 243

7.5 可降阶的高阶微分方程 243

7.5.1 y(n）＝f（x）型的微分方程 244

7.5.2 不含未知函数y及导数y′，y""，…，y（k）的n（n≥k）阶微分方程 245

7.5.3 不含自变量的二阶微分方程 246

习题7.5 247

7.6 线性微分方程解的结构 248

7.6.1 预备知识 248

7.6.2 齐次线性微分方程解的结构 249

7.6.3 非齐次线性微分方程解的结构 250

习题7.6 251

7.7 常系数齐次线性微分方程 252

习题7.7 256

7.8 常系数非齐次线性微分方程 257

7.8.1 f（x）＝eλx（a0 xm＋a1xm-1.＋…＋am-1x＋am）型 257

7.8.2 f （x）＝eλx [Pl（x）cos ωx＋Pn（x） sin ωx]型 261

习题7.8 262

7.9 本章小结 263

7.9.1 内容提要 263

7.9.2 基本要求 265

综合练习题 266

习题参考答案 269