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第6章 多元函数微分学及其应用 1

6.1多元函数的基本概念 1

6.1.1区域 1

6.1.2多元函数的概念 2

6.1.3多元函数的极限 3

6.1.4多元函数的连续性 5

习题6.1 6

6.2偏导数 6

6.2.1偏导数的概念 6

6.2.2求偏导数举例 7

6.2.3偏导数的几何意义 8

6.2.4函数的偏导数与函数连续的关系 8

6.2.5高阶偏导数 9

习题6.2 11

6.3全微分 11

6.3.1全微分的定义 11

6.3.2可微的必要条件 12

6.3.3可微的充分条件 13

6.3.4利用全微分作近似计算 14

习题6.3 15

6.4多元复合函数的求导法则 15

6.4.1多元复合函数求导的链式法则 15

6.4.2一阶全微分形式不变性 17

习题6.4 19

6.5隐函数的偏导数 19

6.5.1由一个方程所确定的隐函数的偏导数 19

6.5.2由方程组所确定的隐函数的偏导数 21

习题6.5 23

6.6方向导数与梯度 23

6.6.1方向导数的定义 23

6.6.2方向导数的计算 25

6.6.3梯度 26

习题6.6 28

6.7多元函数的极值 28

6.7.1无条件极值 28

6.7.2最值 30

6.7.3条件极值 拉格朗日乘数法 32

习题6.7 34

6.8多元函数微分学应用模型举例 34

6.8.1交叉弹性 34

6.8.2最优价格模型 37

习题6.8 38

复习题6 39

第7章 重积分数学模型及其应用 42

7.1二重积分 42

7.1.1二重积分模型 42

7.1.2二重积分的性质 45

习题7.1 46

7.2二重积分的计算 46

7.2.1在直角坐标系下计算二重积分 46

7.2.2在极坐标系下计算二重积分 52

习题7.2 56

7.3三重积分 58

7.3.1三重积分的定义 58

7.3.2三重积分的计算 58

习题7.3 66

7.4重积分模型应用举例 67

7.4.1几何应用 68

7.4.2物理应用 71

7.4.3重积分在生活中的应用 76

习题7.4 76

复习题7 77

第8章 曲线积分、曲面积分及其应用 80

8.1第一型曲线积分 80

8.1.1金属曲线的质量 80

8.1.2第一型曲线积分的定义 80

8.1.3第一型曲线积分的计算 82

习题8.1 84

8.2第二型曲线积分 84

8.2.1变力沿曲线所做的功 84

8.2.2第二型曲线积分的定义 85

8.2.3第二型曲线积分的计算 86

8.2.4两类曲线积分之间的关系 87

习题8.2 89

8.3格林公式 平面曲线积分与路径无关的条件 89

8.3.1单连通区域与复连通区域 89

8.3.2格林公式 90

8.3.3平面曲线积分与路径无关的充要条件 93

8.3.4全微分方程 96

习题8.3 98

8.4第一型曲面积分 98

8.4.1空间曲面的质量 98

8.4.2第一型曲面积分的定义 99

8.4.3第一型曲面积分的计算 99

习题8.4 102

8.5第二型曲面积分 102

8.5.1流量问题 102

8.5.2第二型曲面积分的定义 104

8.5.3第二型曲面积分的计算 105

8.5.4两类曲面积分之间的联系 107

习题8.5 108

8.6高斯公式、斯托克斯公式 109

8.6.1高斯公式 109

8.6.2斯托克斯公式 111

习题8.6 115

8.7线面积分应用模型实例 115

8.7.1通量与散度 115

8.7.2环量与旋度 117

习题8.7 119

复习题8 119

第9章 常微分方程及其应用 122

9.1微分方程的基本概念 122

9.1.1案例引入 122

9.1.2微分方程的概念 124

9.1.3微分方程的解 124

习题9.1 126

9.2一阶微分方程 127

9.2.1可分离变量的微分方程 齐次方程 127

9.2.2一阶线性微分方程 伯努利方程 132

9.2.3利用变量代换求解一阶微分方程 136

习题9.2 137

9.3可降阶的高阶微分方程 139

9.3.1 y（n）=f（x）型 139

9.3.2 y″=f（x，y′）型 140

9.3.3 y″=f（y，y′）型 142

习题9.3 144

9.4二阶常系数齐次线性微分方程 145

9.4.1二阶齐次线性微分方程解的性质和结构 145

9.4.2二阶常系数齐次线性微分方程的解法 147

习题9.4 152

9.5二阶常系数非齐次线性微分方程 153

9.5.1二阶非齐次线性微分方程解的性质和结构 153

9.5.2二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 154

习题9.5 159

9.6常微分方程模型应用举例 160

9.6.1死亡时间判定模型 160

9.6.2人口增长模型 161

9.6.3放射性废料的处理模型 163

9.6.4鱼雷击舰问题 164

习题9.6 165

复习题9 166

第10章 无穷级数及其应用 168

10.1常数项级数的概念与性质 168

10.1.1常数项级数的概念 168

10.1.2常数项级数的性质 172

10.1.3级数收敛的必要条件 175

习题10.1 175

10.2正项级数判敛 177

10.2.1正项级数收敛的充要条件 177

10.2.2比较判别法 178

10.2.3比值判别法 181

10.2.4根值判别法 185

习题10.2 186

10.3变号级数判敛 187

10.3.1交错级数 187

10.3.2绝对收敛与条件收敛 189

10.3.3绝对收敛级数的两个性质 192

习题10.3 193

10.4幂级数 194

10.4.1函数项级数的一般概念 194

10.4.2幂级数及其收敛区间 195

10.4.3幂级数的运算性质和函数 199

习题10.4 205

10.5函数展开成幂级数 206

10.5.1泰勒级数 207

10.5.2函数展开成幂级数 208

习题10.5 215

10.6傅里叶级数 216

10.6.1三角级数和三角函数系的正交性 216

10.6.2傅里叶级数 218

10.6.3函数展开成傅里叶级数 219

10.6.4正弦级数和余弦级数 222

10.6.5周期延拓 224

10.6.6奇延拓与偶延拓 226

10.6.7以2l为周期的函数的傅里叶级数 228

习题10.6 229

10.7无穷级数模型应用举例 230

习题10.7 236

复习题10 236

部分习题参考答案 240

参考文献 264