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第1章 函数 极限与连续 1

1.1函数 1

1.1.1函数的概念 1

1.1.2函数的几种特性 2

1.1.3反函数 3

1.1.4复合函数 4

1.1.5基本初等函数与初等函数 5

1.1.6分段函数 8

1.2数列极限的概念与性质 9

1.2.1数列极限的概念 9

1.2.2数列极限的性质 10

1.3函数极限的概念与性质 11

1.3.1函数极限的概念 11

1.3.2无穷小与无穷大 13

1.3.3函数极限的性质 14

1.4极限运算法则 15

1.4.1极限的四则运算法则 15

1.4.2复合函数的极限运算法则 17

1.5极限存在准则 两个重要极限 17

1.5.1夹逼准则与第一个重要极限 17

1.5.2单调有界准则与第二个重要极限 19

1.6无穷小的性质及其比较 21

1.6.1无穷小的性质 21

1.6.2无穷小的比较 22

1.6.3等价无穷小的性质 23

1.7函数的连续性 24

1.7.1函数的连续性 24

1.7.2函数的间断点 25

1.7.3连续函数的运算 27

1.8闭区间上连续函数的性质 29

1.8.1最大值和最小值定理 29

1.8.2零点定理 29

1.8.3介值定理 30

1.9极限的精确定义 31

1.9.1数列极限的精确定义 31

1.9.2函数极限的精确定义 33

习题1 34

第2章 一元函数微分学 39

2.1导数的概念 39

2.1.1变化率问题举例 39

2.1.2导数的定义 40

2.1.3常数和基本初等函数的导数公式 42

2.1.4导数的几何意义 43

2.1.5可导与连续的关系 44

2.2求导法则 44

2.2.1函数的和差积商的求导法则 44

2.2.2反函数的导数 46

2.2.3复合函数的求导法则 46

2.3高阶导数 48

2.4隐函数的导数 由参数方程确定的函数的导数 49

2.4.1隐函数的导数 49

2.4.2由参数方程确定的函数的导数 51

2.4.3相关变化率 53

2.5函数的微分 53

2.5.1微分的概念 53

2.5.2可微与可导的关系 54

2.5.3微分公式与微分法则 56

2.5.4微分的几何意义 57

2.5.5微分的应用 57

2.6中值定理 58

2.6.1罗尔定理 58

2.6.2拉格朗日中值定理 59

2.6.3柯西中值定理 60

2.6.4中值定理的应用 61

2.7洛必达法则 63

2.7.1洛必达法则 63

2.7.2其他不定式极限的求法 64

2.8泰勒公式 66

2.8.1泰勒公式 66

2.8.2几个常见函数的麦克劳林公式 67

2.9函数的单调性与极值 69

2.9.1函数的单调性 69

2.9.2函数的极值 71

2.9.3函数的最值 73

2.10曲线的凹凸性与拐点 74

2.11函数图形的描绘 77

2.12曲线的曲率 79

2.12.1曲率的概念 79

2.12.2曲率公式 80

2.12.3曲率圆 81

2.13一元函数微分学在经济学中的应用 82

2.13.1经济学中几个常见的函数 82

2.13.2边际成本、边际收益、边际利润及其经济学意义 82

2.13.3弹性及其经济学意义 83

习题2 84

第3章 一元函数积分学 90

3.1不定积分的概念与性质 90

3.1.1不定积分的概念 90

3.1.2不定积分的基本公式 91

3.1.3不定积分的性质 92

3.2换元积分法 93

3.2.1第一类换元法 94

3.2.2第二类换元法 97

3.3分部积分法 100

3.4有理函数的积分 103

3.5定积分的概念与性质 105

3.5.1定积分问题举例 105

3.5.2定积分的定义 106

3.5.3定积分的几何意义 108

3.5.4定积分的性质 109

3.6微积分基本公式 111

3.6.1变速直线运动路程计算的启示 111

3.6.2变上限的积分及其导数 112

3.6.3牛顿-莱布尼茨公式 114

3.7定积分的换元法与分部积分法 115

3.7.1定积分的换元法 115

3.7.2定积分的分部积分法 118

3.8反常积分 120

3.8.1无穷区间上的反常积分 120

3.8.2无界函数的反常积分 122

3.9定积分的几何应用 124

3.9.1定积分的元素法 124

3.9.2平面图形的面积 125

3.9.3立体的体积 128

3.9.4平面曲线的弧长 129

3.9.5旋转体的侧面积 131

3.10定积分的物理应用 132

习题3 134

第4章 微分方程 142

4.1微分方程的基本概念 142

4.2一阶微分方程 143

4.2.1可分离变量的微分方程 144

4.2.2齐次型方程 145

4.2.3一阶线性微分方程 145

4.2.4伯努利方程 148

4.3可降阶的二阶微分方程 149

4.3.1y”=f（x）型的微分方程 149

4.3.2y”=f（x，y’）型的微分方程 150

4.3.3y”=f（y，y’）型的微分方程 151

4.4线性微分方程解的性质与结构 152

4.4.1线性微分方程解的性质 152

4.4.2线性微分方程解的结构 153

4.5二阶常系数线性微分方程 154

4.5.1二阶常系数齐次线性微分方程 154

4.5.2二阶常系数非齐次线性微分方程 156

4.5.3欧拉方程 160

习题4 161

综合练习题 164

参考答案 176

习题1 176

习题2 177

习题3 180

习题4 183

综合练习题 185

附录1 常用数学公式与图形 191

附录2 微积分发展简史 200