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第7章 空间解析几何与向量代数 1

7.1空间直角坐标系 1

7.1.1空间直角坐标系 1

7.1.2空间两点间的距离 3

习题7.1 4

7.2向量的线性运算及向量的坐标 4

7.2.1向量的概念 4

7.2.2向量的线性运算 5

7.2.3向量的坐标表达式 7

7.2.4向量的模、方向角、投影 8

习题7.2 11

7.3数量积 向量积 混合积 12

7.3.1向量的数量积 12

7.3.2向量的向量积 14

7.3.3向量的混合积 16

习题7.3 18

7.4曲面及其方程 18

7.4.1曲面方程的概念 19

7.4.2平面方程 23

习题7.4 27

7.5空间曲线及其方程 27

7.5.1空间曲线 27

7.5.2空间直线及其方程 31

7.5.3二次曲面 34

习题7.5 38

模拟考场七 38

数学家史话 一宵奇梦定终生——Descartes 39

第8章 多元函数微分法及其应用 42

8.1多元函数的极限与连续 42

8.1.1平面点集与n维空间 42

8.1.2多元函数的概念 45

8.1.3多元函数的极限 48

8.1.4多元函数的连续性 50

习题8.1 53

8.2偏导数 54

8.2.1偏导数定义及其求法 54

8.2.2偏导数的几何意义 57

8.2.3高阶偏导数 59

习题8.2 61

8.3全微分 62

8.3.1全微分的定义 62

8.3.2可微分的条件 63

8.3.3全微分在近似计算中的应用 66

习题8.3 68

8.4多元复合函数求导法则 68

8.4.1复合函数 69

8.4.2复合函数的求导法则 70

8.4.3全微分的形式不变性 75

8.4.4复合函数的高阶偏导数 76

习题8.4 77

8.5隐函数的求导公式 78

8.5.1一个方程的情形 78

8.5.2方程组的情形 81

习题8.5 84

8.6多元函数微分学的几何应用 85

8.6.1一元向量值函数及其导数 85

8.6.2空间曲线的切线与法平面 87

8.6.3曲面的切平面与法线 91

习题8.6 94

8.7方向导数与梯度 95

8.7.1方向导数 95

8.7.2梯度 97

8.7.3数量场与向量场 101

习题8.7 102

8.8多元函数的极值及其求法 102

8.8.1多元函数的极值及最大值、最小值 103

8.8.2条件极值Lagrange乘数法 106

习题8.8 109

模拟考场八 110

数学家史话 无冕之王——Hilbert 112

第9章 重积分 114

9.1二重积分的概念与性质 114

9.1.1二重积分的概念 114

9.1.2二重积分的性质 117

习题9.1 119

9.2直角坐标系下二重积分的计算 119

9.2.1积分区域的类型 119

9.2.2二重积分的计算 121

9.2.3利用对称性计算二重积分 126

习题9.2 127

9.3二重积分的极坐标计算和换元法 128

9.3.1利用极坐标计算二重积分 128

9.3.2二重积分的换元法 131

习题9.3 132

9.4三重积分的概念及其计算 132

9.4.1三重积分的定义 132

9.4.2直角坐标系下三重积分的计算 133

习题9.4 136

9.5利用柱面和球面坐标计算三重积分 137

9.5.1利用柱面坐标计算三重积分 137

9.5.2利用球坐标变换计算三重积分 139

习题9.5 141

9.6重积分的应用 141

9.6.1曲面的面积 142

9.6.2重心 143

9.6.3转动惯量 145

9.6.4空间立体对质点的引力 146

习题9.6 146

模拟考场九 147

数学家史话 数学大师——Riemann 149

第10章 曲线积分和曲面积分 151

10.1对弧长的曲线积分 151

10.1.1对弧长的曲线积分的定义 151

10.1.2对弧长曲线积分的性质 152

10.1.3对弧长曲线积分的计算 153

10.1.4对弧长的曲线积分的应用 156

习题10.1 158

10.2对坐标的曲线积分 158

10.2.1对坐标的曲线积分的定义与性质 158

10.2.2对坐标的曲线积分的计算 161

10.2.3对坐标的曲线积分的应用 165

习题10.2 167

10.3 Green公式 168

10.3.1 Green公式 168

10.3.2平面上曲线积分与路径无关的条件 172

10.3.3二元函数的全微分求积 176

习题10.3 178

10.4对面积的曲面积分 179

10.4.1对面积的曲面积分的定义 179

10.4.2对面积的曲面积分的性质 180

10.4.3对面积的曲面积分的计算 181

10.4.4对面积的曲面积分的应用 183

习题10.4 185

10.5对坐标的曲面积分 186

10.5.1对坐标的曲面积分的定义和性质 186

10.5.2对坐标的曲面积分的性质 190

10.5.3对坐标的曲面积分的计算法 191

10.5.4两类曲面积分之间的联系 193

习题10.5 195

10.6 Gauss公式 196

10.6.1 Gauss公式 196

10.6.2用Gauss公式计算曲面积分 198

习题10.6 200

模拟考场十 200

数学家史话 数学天才——Gauss 202

第11章 无穷级数 204

11.1无穷级数的概念和性质 204

11.1.1常数项级数的概念 204

11.1.2级数收敛与发散的定义 205

11.1.3收敛级数的基本性质 206

11.1.4级数收敛的必要条件 208

习题11.1 208

11.2正项级数审敛法 209

11.2.1比较审敛法 210

11.2.2比值审敛法与根值审敛法 213

习题11.2 215

11.3一般常数项级数 215

11.3.1交错级数 216

11.3.2绝对收敛与条件收敛 217

习题11.3 219

11.4幂级数 219

11.4.1函数项级数的概念 219

11.4.2幂级数及其收敛域 220

11.4.3幂级数的运算与性质 224

习题11.4 227

11.5函数展开成幂级数 227

11.5.1 Taylor级数 227

11.5.2函数展开为幂级数 229

11.5.3函数幂级数展开式的应用 232

习题11.5 236

11.6 Fourier级数 236

11.6.1三角级数及三角函数系的正交性 236

11.6.2函数展开成Fourier级数 238

11.6.3正弦级数和余弦级数 242

11.6.4非周期函数的Fourier级数 246

11.6.5周期为2l的周期函数的Fourier级数 249

习题11.6 252

模拟考场十一 252

数学家史话 数学天才——Abel 253

附录1 Matlab实验 255

附录2 常用曲面 272

习题答案 276