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第7章 空间解析几何与向量代数 1

7.1空间直角坐标系 1

7.1.1空间点的直角坐标 1

7.1.2两点间的距离 4

习题7.1 5

7.2向量及其线性运算 5

7.2.1向量的概念 5

7.2.2向量的加法 6

7.2.3向量的数乘 7

7.2.4向量的坐标表示 9

习题7.2 12

7.3向量的数量积 12

7.3.1两向量的数量积 12

7.3.2方向角和方向余弦 15

习题7.3 17

7.4向量的向量积 18

7.4.1两向量的向量积 18

7.4.2向量的混合积 21

习题7.4 22

7.5曲面及其方程 23

7.5.1球面 24

7.5.2柱面 26

7.5.3旋转曲面 28

习题7.5 30

7.6空间曲线及其方程 31

7.6.1空间曲线的一般方程 31

7.6.2空间曲线的参数方程 33

7.6.3空间曲线在坐标平面内的投影曲线 35

习题7.6 38

7.7平面 39

7.7.1平面的点法式方程 39

7.7.2平面的一般式方程 41

7.7.3平面的截距式方程 43

7.7.4两平面的夹角 44

7.7.5点到平面的距离 45

习题7.7 46

7.8空间直线 47

7.8.1空间直线的一般式方程 47

7.8.2空间直线的对称式方程 48

7.8.3空间直线的参数方程 50

7.8.4两直线的夹角 51

7.8.5直线与平面的夹角 53

7.8.6直线与平面的交点 54

7.8.7平面束 56

习题7.8 59

7.9二次曲面 60

7.9.1椭球面 60

7.9.2椭圆抛物面 62

7.9.3双曲抛物面 64

习题7.9 66

复习题七 66

总习题七 67

选读 分形几何：研究复杂现象的数学 68

第8章 多元函数微分学 74

8.1多元函数的极限与连续 74

8.1.1平面点集的知识 74

8.1.2多元函数 77

8.1.3二元函数的极限 79

8.1.4二元函数的连续性 82

习题8.1 84

8.2偏导数 85

8.2.1偏导数的定义 85

8.2.2高阶偏导数 88

习题8.2 90

8.3全微分 91

8.3.1全微分的定义 91

8.3.2全微分存在的必要条件和充分条件 92

8.3.3全微分在近似计算中的应用 95

习题8.3 97

8.4多元复合函数的求导法则 98

8.4.1多元复合函数求导的链式法则 98

8.4.2一阶全微分的形式不变性 101

8.4.3复合函数的高阶偏导数 102

习题8.4 104

8.5隐函数求导法 105

8.5.1一个方程确定的隐函数的情形 105

8.5.2方程组确定的隐函数的情形 110

习题8.5 114

8.6多元函数微分法在几何上的应用 115

8.6.1空间曲线的切线与法平面 115

8.6.2曲面的切平面与法线 119

8.6.3全微分的几何意义 122

习题8.6 123

8.7方向导数和梯度 124

8.7.1方向导数 124

8.7.2梯度 129

8.7.3等值线、等值面与梯度的意义 130

习题8.7 133

8.8多元函数的极值 134

8.8.1极值的定义及求法 134

8.8.2函数的最大值与最小值 137

8.8.3条件极值 138

习题8.8 142

8.9最小二乘法 142

习题8.9 146

8.10二元函数的泰勒公式 146

8.10.1二元函数的泰勒公式 146

8.10.2二元函数极值的充分条件的证明 148

复习题八 150

总习题八 151

选读 偏导数在经济分析中的应用 152

第9章 数量值函数的积分学 157

9.1二重积分的概念与性质 157

9.1.1二重积分的概念 157

9.1.2二重积分的性质 160

习题9.1 164

9.2二重积分在直角坐标系下的计算法 165

9.2.1直角坐标系下二重积分的面积元素 166

9.2.2化二重积分为二次积分 166

9.2.3被积函数含参变量的积分 174

习题9.2 177

9.3二重积分在极坐标系下的计算法 180

9.3.1二重积分在极坐标系下的表示 180

9.3.2极坐标系下的二重积分的计算 181

9.3.3二重积分的换元法 187

习题9.3 191

9.4三重积分的概念及其计算 193

9.4.1引例 193

9.4.2三重积分的定义 193

9.4.3三重积分的计算法 194

9.4.4利用柱面坐标系和球面坐标系计算三重积分 199

9.4.5利用球面坐标系计算三重积分 202

习题9.4 205

9.5对弧长的曲线积分 207

9.5.1对弧长的曲线积分的定义 207

9.5.2对弧长的曲线积分的性质 209

9.5.3对弧长的曲线积分的计算法 209

习题9.5 212

9.6第一类曲面积分 213

9.6.1引例 213

9.6.2第一类曲面积分的定义 214

9.6.3第一类曲面积分的计算 214

习题9.6 218

9.7数量值函数积分学的应用 219

9.7.1数量值函数积分学在几何中的应用 220

9.7.2数量值函数积分学在物理中的应用 225

习题9.7 233

复习题九 234

总习题九 235

选读 数量值函数积分概念的统一与推广 236

第10章 向量值函数的积分学 242

10.1向量值函数的概念与性质 242

10.1.1一元向量值函数 242

10.1.2多元向量值函数 248

10.1.3场的概念 249

习题10.1 251

10.2第二类曲线积分的概念与计算 252

10.2.1变力沿曲线做功问题 252

10.2.2第二类曲线积分的定义与性质 254

10.2.3第二类曲线积分的计算 256

10.2.4两类曲线积分之间的关系 260

习题10.2 261

10.3格林公式及其应用 262

10.3.1格林公式 262

10.3.2平面曲线积分与路径无关的条件 267

习题10.3 274

10.4第二类曲面积分的概念与计算 275

10.4.1有向曲面 275

10.4.2流过曲面的流量 275

10.4.3第二类曲面积分的定义与性质 277

10.4.4第二类曲面积分的计算 279

习题10.4 285

10.5高斯公式与斯托克斯公式 285

10.5.1高斯公式 286

10.5.2斯托克斯公式 290

10.5.3空间曲线积分与路径无关的条件 294

习题10.5 296

10.6场论初步 298

10.6.1梯度场 298

10.6.2散度场 299

10.6.3旋度场 301

10.6.4几种重要的向量场 303

习题10.6 305

复习题十 305

总习题十 306

选读 外微分形式与积分基本公式的统一 308

第11章 无穷级数 313

11.1常数项级数的基本概念与性质 313

11.1.1常数项级数的基本概念 313

11.1.2级数的基本性质 级数收敛的必要条件 316

习题11.1 321

11.2常数项级数的审敛法 322

11.2.1正项级数的审敛法 322

11.2.2交错级数及其判别法 329

11.2.3绝对收敛与条件收敛 331

习题11.2 334

11.3幂级数 336

11.3.1函数项级数的基本概念 336

11.3.2函数项级数的一致收敛性 337

11.3.3幂级数及其收敛性 341

11.3.4幂级数的运算及性质 345

习题11.3 350

11.4函数展开成幂级数 351

11.4.1泰勒级数 351

11.4.2函数展开成幂级数 353

11.4.3函数幂级数展开式的应用 359

习题11.4 362

11.5傅里叶级数 363

11.5.1三角级数及三角函数系的正交性 363

11.5.2周期为2π的函数的傅里叶级数 365

11.5.3周期为2l的函数的傅里叶级数 371

习题11.5 373

11.6正弦级数和余弦级数 374

习题11.6 377

复习题十一 378

总习题十一 379

选读 数学常数π与e探幽 380

第12章 微分方程（续） 383

12.1全微分方程与积分因子 383

12.1.1全微分方程 383

12.1.2积分因子 385

习题12.1 388

12.2高阶线性微分方程及其幂级数解法 389

12.2.1高阶线性微分方程解的性质与通解结构 389

12.2.2二阶线性微分方程的幂级数解法 392

习题12.2 397

12.3高阶常系数线性微分方程与欧拉方程 397

12.3.1 n阶常系数线性微分方程的解法 397

12.3.2常系数线性微分方程的算子方法 399

12.3.3欧拉方程 402

习题12.3 405

12.4微分方程组 405

12.4.1微分方程组的例子 405

12.4.2微分方程组的解法 409

习题12.4 414

12.5微分方程数值解 415

习题12.5 417

复习题十二 418

总习题十二 418

选读 用数学来描述战争的胜负 419

附录Ⅰ高等数学常用数学名词英文注释 425

附录Ⅱ二阶和三阶行列式简介 428

习题答案 432

参考文献 459